I – Définitions
1. Suites numériques
Pour rappel, on appelle suite une fonction (et plus précisément application) de
Définition
Il y a plusieurs manières de définir une suite :
- Par récurrence : On donne le premier terme de la suite ainsi que le terme au rang
. - Par son terme général : On donne le
-ième terme de la suite en fonction de .
Attention ! Bien que ces deux modes de génération soient les principaux, il en existe d'autres : algorithme, motifs géométriques, ...
2. Sens de variation
Définition
Soit
est croissante si on a (ou ) pour tout . est décroissante si on a (ou ) pour tout . est dite constante s'il existe tel que pour tout .
Si une suite est croissante ou décroissante et ne change pas de variation, alors elle est dite monotone.
3. Convergence et divergence
Convergence
On dit qu'une suite
Pour tout
Attention ! Il est tout à fait possible que la suite
Divergence vers
On dit qu'une suite
Pour tout
Il existe une définition similaire pour la divergence vers
II – Calcul de limites
1. Limites de suites de référence
Nous allons donner quelques suites classiques avec leur limite en
Limites de suites usuelles
Suite | Limite quand |
---|---|
Nous allons désormais donner la limite d'une catégorie de suite très importante en mathématiques : celle des suites géométriques. Ainsi :
Limite de suites géométriques
Soit
Limite d'une suite géométrique | |||
---|---|---|---|
Si on a... | |||
Alors la suite | Pas de limite |
2. Opérations sur les limites
Dans tout ce qui suit,
Limite d'une somme
Limite d'une somme | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Si la limite de | ||||||
Et la limite de | ||||||
Alors la limite de | ? |
Limite d'un produit
Limite d'un produit | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Si la limite de | |||||||||
Et la limite de | |||||||||
Alors la limite de | ? |
Limite d'un quotient
Limite d'un quotient | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Si la limite de | |||||||||
Et la limite de | |||||||||
Alors la limite de | ? | ? |
3. Majoration, minoration et bornes
Définition
Soient une suite
- On dit que
est un minorant de si pour tout : . - On dit que
est un majorant de si pour tout : . - On dit que
est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Théorème
- Si
est croissante et est majorée, alors elle est convergente. Si elle n'est pas majorée, diverge vers . - Si
est décroissante et est minorée, alors elle est convergente. Si elle n'est pas minorée, diverge vers .
4. Comparaisons et encadrements
Théorèmes de comparaison
Soient deux suites
- Si
, alors . - Si
, alors . - Si
et alors .
Théorème des gendarmes
Soient trois suites
Alors
III – Raisonnement par récurrence
Si on souhaite montrer qu'une propriété est vraie pour tout
Raisonnement par récurrence
Initialisation : On teste la propriété au rang
Hérédité : On suppose la propriété vraie à un rang
Conclusion : On explique que l'on vient de démontrer la propriété au rang