Définitions

Suites numériques

Pour rappel, on appelle suite une fonction (et plus précisément application) de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$ : cette fonction va prendre des éléments de l'ensemble de départ $\mathbb{N}$ et va les amener dans l'ensemble d'arrivée $\mathbb{R}$.

Il y a plusieurs manières de définir une suite :

  • Par récurrence : On donne le premier terme de la suite ainsi que le terme au rang $n+1$.
  • Par son terme général : On donne le $n$-ième terme de la suite en fonction de $n$.

Sens de variation

Soit $(u_n)$ une suite.

  • $(u_n)$ est croissante si on a $u_{n+1} \geq u_n$ (ou $u_{n+1} - u_n \geq 0$) pour tout $n \in \mathbb{N}$.
  • $(u_n)$ est décroissante si on a $u_{n+1} \leq u_n$ (ou $u_{n+1} - u_n \leq 0$) pour tout $n \in \mathbb{N}$.
  • $(u_n)$ est dite constante s'il existe $c \in \mathbb{R}$ tel que $u_n = c$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Si une suite est croissante ou décroissante et ne change pas de variation, alors elle est dite monotone.

Convergence et divergence

On dit qu'une suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ quand $n$ tend vers $+\infty$ si :

Pour tout $\epsilon > 0$, l'intervalle ouvert $]\ell-\epsilon, \ell+\epsilon[$, contient tous les termes de la suite $(u_n)$ à partir d'un certain rang. On note alors : $\lim_{n \rightarrow +\infty} u_n = \ell$.

Attention ! Il est tout-à-fait possible que la suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ mais ne soit jamais égal à $\ell$.

On dit qu'une suite $(v_n)$ diverge vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$ si :

Pour tout $A \gt 0$, il existe un rang $N$ tel que pour tout $n \geq N$, $v_n \gt A$. On note alors : $\lim_{n \rightarrow +\infty} u_n = +\infty$.

Calcul de limites

Limites de suites de référence

Nous allons donner quelques suites classiques avec leur limite en $+\infty$ :

Suite Limite quand $n$ tend vers $+\infty$
$(\sqrt{n})$ $+\infty$
$(n)$ $+\infty$
$(n^k)$, pour $k \in \mathbb{N}^*$ $+\infty$
$\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ $0$
$(\frac{1}{n})$ $0$
$\left(\frac{1}{n^k}\right)$, pour $k \in \mathbb{N}^*$ $0$

Nous allons désormais donner la limite d'une catégorie de suite très importante en mathématiques : celle des suites géométriques. Ainsi :

Soit $(v_n)$ une suite définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $v_n = q^n$ (où $q$ est un nombre réel). Alors, on peut donner la limite de la suite $(v_n)$ en fonction de $q$ :

Limite d'une suite géométrique
Si on a... $-1 \lt q \lt 1$ $1 \lt q$ $q \leq -1$ $q = 1$
Alors la suite $(v_n)$ a pour limite... $0$ $+\infty$ Pas de limite $1$

Opérations sur les limites

Dans tout ce qui suit, $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites. Ces tableaux sont à connaître et sont requis pour pouvoir travailler sur les limites.

Limite d'une somme
Si la limite de $(u_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$ est... $\ell$ $\ell$ $\ell$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$
Et la limite de $(v_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$ est... $\ell'$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$
Alors la limite de $(u_n + v_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$ est... $\ell + \ell'$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ ?
Limite d'un produit
Si la limite de $(u_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$ est... $\ell$ $\ell \gt 0$ $\ell \gt 0$ $\ell \lt 0$ $\ell \lt 0$ $+\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $0$
Et la limite de $(v_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$ est... $\ell'$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $\pm \infty$
Alors la limite de $(u_n \times v_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$ est... $\ell \times \ell'$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ ?
Limite d'un quotient
Si la limite de $(u_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$ est... $\ell$ $\ell$ $+\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $\pm \infty$ $\ell$ $0$
Et la limite de $(v_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$ est... $\ell' \neq 0$ $\pm \infty$ $\ell' \gt 0$ $\ell' \lt 0$ $\ell' \gt 0$ $\ell' \lt 0$ $\pm \infty$ $0^+_-$ $0$
Alors la limite de $(\frac{u_n}{v_n})$ quand $n$ tend vers $+\infty$ est... $\displaystyle{\frac{\ell}{\ell'}}$ $0$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $+\infty$ ? $\pm \infty$ ?

Majoration, minoration et bornes

Soient une suite $(u_n)$ et deux réels $m$ et $M$ :

  • On dit que que $m$ est un minorant de $(u_n)$ si pour tout $n$ : $u_n \gt m$.
  • On dit que que $M$ est un majorant de $(u_n)$ si pour tout $n$ : $u_n \lt M$.
  • On dit que que $(u_n)$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
  • Si $(u_n)$ est croissante et est majorée, alors elle est convergente. Si elle n'est pas majorée, $(u_n)$ diverge vers $+\infty$.
  • Si $(u_n)$ est décroissante et est minorée, alors elle est convergente. Si elle n'est pas minorée, $(u_n)$ diverge vers $-\infty$.

Comparaisons et encadrements

Soient deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ telles que $u_n \lt v_n$ à partir d'un certain rang $N$. On a :

  • Si $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = +\infty$, alors $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n = +\infty$.
  • Si $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n = -\infty$, alors $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = -\infty$.
  • Si $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = \ell$ et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n = \ell'$ alors $\ell \lt \ell'$.

Soient trois suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$. On suppose que que $u_n \lt v_n \lt w_n$ à partir d'un certain rang et que $(u_n)$ et $(w_n)$ convergent vers le réel $\ell$.

Alors $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n = \ell$.

Raisonnement par récurrence

Si on souhaite montrer qu'une propriété est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$ à partir d'un certain rang $p$, il est possible d'utiliser un type de raisonnement appelé raisonnement par récurrence.

Initialisation : On teste la propriété au rang $p$. Si elle est vérifiée, on passe à l'étape suivante.

Hérédité : On suppose la propriété vraie à un rang $n \geq p$. Puis on montre qu'elle reste vraie au rang $n+1$.

Conclusion : On explique que l'on vient de démontrer la propriété au rang $n+1$ et que comme celle-ci est initialisée et héréditaire, alors elle est vraie à partir du rang $p$.