Définitions

Suites numériques

Pour rappel, on appelle suite une fonction (et plus précisément application) de N\mathbb{N} dans R\mathbb{R} : cette fonction va prendre des éléments de l’ensemble de départ N\mathbb{N} et va les amener dans l’ensemble d’arrivée R\mathbb{R}.

Définition

Il y a plusieurs manières de définir une suite :

  • Par récurrence : On donne le premier terme de la suite ainsi que le terme au rang n+1n+1.

  • Par son terme général : On donne le nn-ième terme de la suite en fonction de nn.

Attention ! Bien que ces deux modes de génération soient les principaux, il en existe d’autres : algorithme, motifs géométriques, ...

Sens de variation

Définition

Soit (un)(u_n) une suite.

  • (un)(u_n) est croissante si on a un+1unu_{n+1} \geq u_n (ou un+1un0u_{n+1} - u_n \geq 0) pour tout nNn \in \mathbb{N}.

  • (un)(u_n) est décroissante si on a un+1unu_{n+1} \leq u_n (ou un+1un0u_{n+1} - u_n \leq 0) pour tout nNn \in \mathbb{N}.

  • (un)(u_n) est dite constante s’il existe cRc \in \mathbb{R} tel que un=cu_n = c pour tout nNn \in \mathbb{N}.

Si une suite est croissante ou décroissante et ne change pas de variation, alors elle est dite monotone.

Convergence et divergence

Convergence

On dit qu’une suite (un)(u_n) converge vers un réel \ell quand nn tend vers ++\infty si :

Pour tout ϵ>0\epsilon > 0, l’intervalle ouvert ]ϵ,+ϵ[]\ell-\epsilon, \ell+\epsilon[, contient tous les termes de la suite (un)(u_n) à partir d’un certain rang. On note alors : limn+un=\lim_{n \rightarrow +\infty} u_n = \ell.

Attention ! Il est tout à fait possible que la suite (un)(u_n) converge vers un réel \ell mais ne soit jamais égal à \ell.

Divergence vers ++\infty

On dit qu’une suite (vn)(v_n) diverge vers ++\infty quand nn tend vers ++\infty si :

Pour tout A>0A > 0, il existe un rang NN tel que pour tout nNn \geq N, vn>Av_n > A. On note alors : limn+un=+\lim_{n \rightarrow +\infty} u_n = +\infty.

Il existe une définition similaire pour la divergence vers -\infty.

Calcul de limites

Limites de suites de référence

Nous allons donner quelques suites classiques avec leur limite en ++\infty :

Limites de suites usuelles

Suite Limite quand nn tend vers ++\infty
(n)(\sqrt{n}) ++\infty
(n)(n) ++\infty
(nk)(n^k), pour kNk \in \mathbb{N}^* ++\infty
(1n)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) 00
(1n)\left(\frac{1}{n}\right) 00
(1nk)\left(\frac{1}{n^k}\right), pour kNk \in \mathbb{N}^* 00

Nous allons désormais donner la limite d’une catégorie de suite très importante en mathématiques : celle des suites géométriques. Ainsi :

Limite de suites géométriques

Soit (vn)(v_n) une suite définie pour tout nNn \in \mathbb{N} par vn=qnv_n = q^n (où qq est un nombre réel). Alors, on peut donner la limite de la suite (vn)(v_n) en fonction de qq :

Limite d’une suite géométrique
Si on a... 1<q<1-1 < q < 1 1<q1 < q q1q \leq -1 q=1q = 1
Alors la suite (vn)(v_n) a pour limite... 00 ++\infty Pas de limite 11

Opérations sur les limites

Dans tout ce qui suit, (un)(u_n) et (vn)(v_n) sont deux suites. Ces tableaux sont à connaître et sont requis pour pouvoir travailler sur les limites.

Limite d’une somme

Limite d’une somme
Si la limite de (un)(u_n) quand nn tend vers ++\infty est... \ell \ell \ell ++\infty -\infty ++\infty
Et la limite de (vn)(v_n) quand nn tend vers ++\infty est... \ell' ++\infty -\infty ++\infty -\infty -\infty
Alors la limite de (un+vn)(u_n + v_n) quand nn tend vers ++\infty est... +\ell + \ell' ++\infty -\infty ++\infty -\infty ?

Limite d’un produit

Limite d’un produit
Si la limite de (un)(u_n) quand nn tend vers ++\infty est... \ell >0\ell > 0 >0\ell > 0 <0\ell < 0 <0\ell < 0 ++\infty ++\infty -\infty 00
Et la limite de (vn)(v_n) quand nn tend vers ++\infty est... \ell' ++\infty -\infty ++\infty -\infty ++\infty -\infty -\infty ±\pm \infty
Alors la limite de (un×vn)(u_n \times v_n) quand nn tend vers ++\infty est... ×\ell \times \ell' ++\infty -\infty -\infty ++\infty ++\infty -\infty ++\infty ?

Limite d’un quotient

Limite d’un quotient
Si la limite de (un)(u_n) quand nn tend vers ++\infty est... \ell \ell ++\infty ++\infty -\infty -\infty ±\pm \infty \ell 00
Et la limite de (vn)(v_n) quand nn tend vers ++\infty est... 0\ell' \neq 0 ±\pm \infty >0\ell' > 0 <0\ell' < 0 >0\ell' > 0 <0\ell' < 0 ±\pm \infty 0+0^+_- 00
Alors la limite de (unvn)\left(\frac{u_n}{v_n}\right) quand nn tend vers ++\infty est... \displaystyle{\frac{\ell}{\ell'}} 00 ++\infty -\infty -\infty ++\infty ? ±\pm \infty ?

Majoration, minoration et bornes

Définition

Soient une suite (un)(u_n) et deux réels mm et MM :

  • On dit que mm est un minorant de (un)(u_n) si pour tout nn : un>mu_n > m.

  • On dit que MM est un majorant de (un)(u_n) si pour tout nn : un<Mu_n < M.

  • On dit que (un)(u_n) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Théorème

  • Si (un)(u_n) est croissante et est majorée, alors elle est convergente. Si elle n’est pas majorée, (un)(u_n) diverge vers ++\infty.

  • Si (un)(u_n) est décroissante et est minorée, alors elle est convergente. Si elle n’est pas minorée, (un)(u_n) diverge vers -\infty.

Comparaisons et encadrements

Théorèmes de comparaison

Soient deux suites (un)(u_n) et (vn)(v_n) telles que un<vnu_n < v_n à partir d’un certain rang NN. On a :

  • Si limn+un=+\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = +\infty, alors limn+vn=+\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n = +\infty.

  • Si limn+vn=\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n = -\infty, alors limn+un=\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = -\infty.

  • Si limn+un=\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = \ell et limn+vn=\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n = \ell' alors <\ell < \ell'.

Théorème des gendarmes

Soient trois suites (un)(u_n), (vn)(v_n) et (wn)(w_n). On suppose que un<vn<wnu_n < v_n < w_n à partir d’un certain rang et que (un)(u_n) et (wn)(w_n) convergent vers le réel \ell.

Alors limn+vn=\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n = \ell.

Raisonnement par récurrence

Si on souhaite montrer qu’une propriété est vraie pour tout nNn \in \mathbb{N} à partir d’un certain rang pp, il est possible d’utiliser un type de raisonnement appelé raisonnement par récurrence.

Raisonnement par récurrence

Initialisation : On teste la propriété au rang pp. Si elle est vérifiée, on passe à l’étape suivante.

Hérédité : On suppose la propriété vraie à un rang npn \geq p. Puis on montre qu’elle reste vraie au rang n+1n+1.

Conclusion : On explique que l’on vient de démontrer la propriété au rang n+1n+1 et que comme celle-ci est initialisée et héréditaire, alors elle est vraie à partir du rang pp.