Définition

Il y a plusieurs manières de définir une suite :

• Par récurrence : On donne le premier terme de la suite ainsi que le terme au rang $n+1$.
• Par son terme général : On donne le $n$-ième terme de la suite en fonction de $n$.

Définition

Soit $(u_n)$ une suite.

• $(u_n)$ est croissante si on a $u_{n+1}\ge u_n$ (ou $u_{n+1}-u_n\ge 0$) pour tout $n\in \mathbb{N}$.
• $(u_n)$ est décroissante si on a $u_{n+1}\le u_n$ (ou $u_{n+1}-u_n\le 0$) pour tout $n\in \mathbb{N}$.
• $(u_n)$ est dite constante s’il existe $c\in \mathbb{R}$ tel que $u_n=c$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

Convergence

On dit qu’une suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ quand $n$ tend vers $+\infty$ si :

Pour tout $ϵ>0$, l’intervalle ouvert $]\ell -ϵ,\ell +ϵ[$, contient tous les termes de la suite $(u_n)$ à partir d’un certain rang. On note alors : $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\ell$.

Divergence vers $+\infty$

On dit qu’une suite $(v_n)$ diverge vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$ si :

Pour tout $A>0$, il existe un rang $N$ tel que pour tout $n\ge N$, $v_n>A$. On note alors : $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=+\infty$.

Limites de suites usuelles

Limite de suites géométriques

Soit $(v_n)$ une suite définie pour tout $n\in \mathbb{N}$ par $v_n=q^n$ (où $q$ est un nombre réel). Alors, on peut donner la limite de la suite $(v_n)$ en fonction de $q$ :

Limite d’une somme

Limite d’un produit

Limite d’un quotient

Définition

Soient une suite $(u_n)$ et deux réels $m$ et $M$ :

• On dit que $m$ est un minorant de $(u_n)$ si pour tout $n$ : $u_n>m$.
• On dit que $M$ est un majorant de $(u_n)$ si pour tout $n$ : $u_n<M$.
• On dit que $(u_n)$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Théorème

• Si $(u_n)$ est croissante et est majorée, alors elle est convergente. Si elle n’est pas majorée, $(u_n)$ diverge vers $+\infty$.
• Si $(u_n)$ est décroissante et est minorée, alors elle est convergente. Si elle n’est pas minorée, $(u_n)$ diverge vers $-\infty$.

Théorèmes de comparaison

Soient deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ telles que $u_n<v_n$ à partir d’un certain rang $N$. On a :

• Si $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=+\infty$, alors $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=+\infty$.
• Si $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=-\infty$, alors $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=-\infty$.
• Si $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\ell$ et $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n={\ell }^{\prime }$ alors $\ell <{\ell }^{\prime }$.

Théorème des gendarmes

Soient trois suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$. On suppose que $u_n<v_n<w_n$ à partir d’un certain rang et que $(u_n)$ et $(w_n)$ convergent vers le réel $\ell$.

Alors $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=\ell$.

Raisonnement par récurrence

Initialisation : On teste la propriété au rang $p$. Si elle est vérifiée, on passe à l’étape suivante.

Hérédité : On suppose la propriété vraie à un rang $n\ge p$. Puis on montre qu’elle reste vraie au rang $n+1$.

Conclusion : On explique que l’on vient de démontrer la propriété au rang $n+1$ et que comme celle-ci est initialisée et héréditaire, alors elle est vraie à partir du rang $p$.