Définitions

Suites numériques

Pour rappel, on appelle suite une fonction (et plus précisément application) de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$ : cette fonction va prendre des éléments de l'ensemble de départ $\mathbb{N}$ et va les amener dans l'ensemble d'arrivée $\mathbb{R}$.

Il y a plusieurs manières de définir une suite :

• Par récurrence : On donne le premier terme de la suite ainsi que le terme au rang $n+1$.
• Par son terme général : On donne le $n$-ième terme de la suite en fonction de $n$.

Attention ! Bien que ces deux modes de génération soient les principaux, il en existe d'autres : algorithme, motifs géométriques, ...

On définit les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ ainsi :

• $u_n = n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ ($(u_n)$ est définie par son terme général).
• $(v_n) = \begin{cases} v_0 = 0 \\ v_{n+1} = v_n + 1 \text{ pour tout } n \geq 1 \end{cases}$ ($(v_n)$ est définie par récurrence).

On remarque que bien que définies différemment, $(u_n)$ et $(v_n)$ sont égales.

Sens de variation

Soit $(u_n)$ une suite.

• $(u_n)$ est croissante si on a $u_{n+1} \geq u_n$ (ou $u_{n+1} - u_n \geq 0$) pour tout $n \in \mathbb{N}$.
• $(u_n)$ est décroissante si on a $u_{n+1} \leq u_n$ (ou $u_{n+1} - u_n \leq 0$) pour tout $n \in \mathbb{N}$.
• $(u_n)$ est dite constante s'il existe $c \in \mathbb{R}$ tel que $u_n = c$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Si une suite est croissante ou décroissante et ne change pas de variation, alors elle est dite monotone.

Convergence et divergence

On dit qu'une suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ quand $n$ tend vers $+\infty$ si :

Pour tout $\epsilon > 0$, l'intervalle ouvert $]\ell-\epsilon, \ell+\epsilon[$, contient tous les termes de la suite $(u_n)$ à partir d'un certain rang. On note alors : $\lim_{n \rightarrow +\infty} u_n = \ell$.

Cette définition est un peu abstraite mais elle signifie simplement que $u_n$ se rapproche autant que l'on veut de $l$ pourvu que $n$ soit assez grand.

Attention ! Il est tout-à-fait possible que la suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ mais ne soit jamais égal à $\ell$.

On dit qu'une suite $(v_n)$ diverge vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$ si :

Pour tout $A \gt 0$, il existe un rang $N$ tel que pour tout $n \geq N$, $v_n \gt A$. On note alors : $\lim_{n \rightarrow +\infty} u_n = +\infty$.

Il existe une définition similaire pour la divergence vers $-\infty$.

Dire que $(v_n)$ diverge vers $-\infty$ signifie que :

Pour tout $A \gt 0$, il existe un rang $N$ tel que pour tout $n \geq N$, $v_n \lt -A$. On note alors : $\lim_{n \rightarrow +\infty} u_n = -\infty$.

À noter que l'on n'étudie les limites des suites que quand $n$ tend vers $+\infty$, et qu'il est possible qu'une suite n'admette pas de limite. On dit alors que cette suite diverge. Par contre, si une suite converge vers une limite, alors cette limite est unique.

Calcul de limites

Limites de suites de référence

Nous allons donner quelques suites classiques avec leur limite en $+\infty$ :

Suite	Limite quand $n$ tend vers $+\infty$
$(\sqrt{n})$	$+\infty$
$(n)$	$+\infty$
$(n^k)$, pour $k \in \mathbb{N}^*$	$+\infty$
$\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$	$0$
$(\frac{1}{n})$	$0$
$\left(\frac{1}{n^k}\right)$, pour $k \in \mathbb{N}^*$	$0$

Nous allons désormais donner la limite d'une catégorie de suite très importante en mathématiques : celle des suites géométriques. Ainsi :

Soit $(v_n)$ une suite définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $v_n = q^n$ (où $q$ est un nombre réel). Alors, on peut donner la limite de la suite $(v_n)$ en fonction de $q$ :

Limite d'une suite géométrique
Si on a...	$-1 \lt q \lt 1$	$1 \lt q$	$q \leq -1$	$q = 1$
Alors la suite $(v_n)$ a pour limite...	$0$	$+\infty$	Pas de limite	$1$

Le réel $q$ est la raison de la suite : si $q \gt 1$, $(v_n)$ est strictement croissante, si $0 \lt q \lt 1$, $(v_n)$ est strictement décroissante et si $q = 1$ ou $0$, $(v_n)$ est constante.

Opérations sur les limites

Dans tout ce qui suit, $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites. Ces tableaux sont à connaître et sont requis pour pouvoir travailler sur les limites.

Limite d'une somme
Si la limite de $(u_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$ est...	$\ell$	$\ell$	$\ell$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$
Et la limite de $(v_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$ est...	$\ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
Alors la limite de $(u_n + v_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$ est...	$\ell + \ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	?

Limite d'un produit
Si la limite de $(u_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$ est...	$\ell$	$\ell \gt 0$	$\ell \gt 0$	$\ell \lt 0$	$\ell \lt 0$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$0$
Et la limite de $(v_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$ est...	$\ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$\pm \infty$
Alors la limite de $(u_n \times v_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$ est...	$\ell \times \ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	?

Limite d'un quotient
Si la limite de $(u_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$ est...	$\ell$	$\ell$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$\pm \infty$	$\ell$	$0$
Et la limite de $(v_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$ est...	$\ell' \neq 0$	$\pm \infty$	$\ell' \gt 0$	$\ell' \lt 0$	$\ell' \gt 0$	$\ell' \lt 0$	$\pm \infty$	$0^+_-$	$0$
Alors la limite de $(\frac{u_n}{v_n})$ quand $n$ tend vers $+\infty$ est...	$\displaystyle{\frac{\ell}{\ell'}}$	$0$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	?	$\pm \infty$	?

À noter qu'il n'existe que 4 formes indéterminées : $+\infty - \infty$, $0 \times \pm \infty$, $\frac{\pm \infty}{\pm \infty}$ et $\frac{0}{0}$.

Majoration, minoration et bornes

Soient une suite $(u_n)$ et deux réels $m$ et $M$ :

• On dit que que $m$ est un minorant de $(u_n)$ si pour tout $n$ : $u_n \gt m$.
• On dit que que $M$ est un majorant de $(u_n)$ si pour tout $n$ : $u_n \lt M$.
• On dit que que $(u_n)$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

• Si $(u_n)$ est croissante et est majorée, alors elle est convergente. Si elle n'est pas majorée, $(u_n)$ diverge vers $+\infty$.
• Si $(u_n)$ est décroissante et est minorée, alors elle est convergente. Si elle n'est pas minorée, $(u_n)$ diverge vers $-\infty$.

Il faut savoir montrer que toute suite croissante et non majorée diverge vers $+\infty$. C'est ce que nous allons faire ici. Soit donc $(u_n)$ une telle suite. Soit $A > 0$, on cherche un rang $N$ tel que pour tout $n \geq N$, $u_n \gt A$.

Or, comme $(u_n)$ est non majorée, il existe $N$ tel que $u_N > A$. De plus, comme $(u_n)$ est croissante, alors $A \lt u_N \leq u_{N+1} \leq u_{N+2} \leq \text{ ... }$

Donc on a bien trouvé notre rang $N$ vérifiant la définition de la divergence vers $+\infty$.

Toute suite convergente est également bornée.

Comparaisons et encadrements

Soient deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ telles que $u_n \lt v_n$ à partir d'un certain rang $N$. On a :

• Si $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = +\infty$, alors $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n = +\infty$.
• Si $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n = -\infty$, alors $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = -\infty$.
• Si $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = \ell$ et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n = \ell'$ alors $\ell \lt \ell'$.

Il peut être utile de savoir démontrer le premier point dans le cas $N = 0$ (les autres points se démontrent de manière semblable). Supposons $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = +\infty$. Soit $A > 0$, on cherche un rang $p$ tel que pour tout $n \geq p$, $v_n \gt A$.

Comme $u_n$ diverge vers $+\infty$, il existe un rang $q$ tel que pour tout $n \geq q$, $u_n \gt A$. Donc on a : $A \lt u_q \lt v_q$, mais aussi $A \lt u_{q+1} \lt v_{q+1}$, etc...

Donc il suffit de poser $p = q$ et on a bien notre rang vérifiant la définition de la divergence vers $+\infty$.

Soient trois suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$. On suppose que que $u_n \lt v_n \lt w_n$ à partir d'un certain rang et que $(u_n)$ et $(w_n)$ convergent vers le réel $\ell$.

Alors $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n = \ell$.

Raisonnement par récurrence

Si on souhaite montrer qu'une propriété est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$ à partir d'un certain rang $p$, il est possible d'utiliser un type de raisonnement appelé raisonnement par récurrence.

Initialisation : On teste la propriété au rang $p$. Si elle est vérifiée, on passe à l'étape suivante.

Hérédité : On suppose la propriété vraie à un rang $n \geq p$. Puis on montre qu'elle reste vraie au rang $n+1$.

Conclusion : On explique que l'on vient de démontrer la propriété au rang $n+1$ et que comme celle-ci est initialisée et héréditaire, alors elle est vraie à partir du rang $p$.

Soit une suite $(u_n)$ définie par $(u_n) = \begin{cases} u_0 = 4\\ u_{n+1} = \frac{4u_n + 17}{u_n + 4}\end{cases}$. On souhaite montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $4 \leq u_n \leq 5$.

On note $\mathcal{P}_n$ la propriété définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $\mathcal{P}_n$ : $4 \leq u_n \leq 5$.

On constate que $u_{n+1} = \frac{4u_n + 17}{u_n + 4} = \frac{4(u_n + 4) + 1}{u_n + 4} = 4 + \frac{1}{u_n + 4}$.

Initialisation : On teste la propriété au rang $0$ :

$\mathcal{P}_0$ : $4 \leq u_0 \leq 5 \iff 4 \leq 4 \leq 5$. C'est vrai : la propriété est vraie au rang $0$.

Hérédité : Supposons la propriété vraie à un rang $n \in \mathbb{N}$ et vérifions qu'elle est vraie au rang $n+1$.

D'après $\mathcal{P}_n$ : $4 \leq u_n \leq 5$. Donc on a :

$\iff 4 \leq u_n \leq 5$

$\iff 4 + 4 \leq u_n + 4 \leq 5 + 4$

$\iff \frac{1}{9} \leq \frac{1}{u_n + 4} \leq \frac{1}{8}$ (la fonction inverse est décroissante sur $\mathbb{R}^+$ donc on change de sens l'inégalité)

$\iff 4 + \frac{1}{9} \leq 4 + \frac{1}{u_n + 4} \leq 4 + \frac{1}{8}$

Or $4 + \frac{1}{9} \approx 4.111 \gt 4$ et $4 + \frac{1}{8} = 4.125 \lt 5$. On a donc bien :

$4 \leq u_{n+1} \leq 5$

Conclusion : La propriété est initialisée au rang $0$ et est héréditaire. Ainsi, $\mathcal{P}_n$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Le raisonnement par récurrence est très utilisé en mathématiques et ne se limite pas qu'à l'étude des suites. On peut par exemple l'utiliser pour montrer l'inégalité de Bernoulli.

$(1 + x)^n \gt 1 + nx$ pour tout $n \geq 2$ et tout $x \in [-1, 0[ \, \cup \, ]0, +\infty[$.

Soit $x \in [-1, 0[ \, \cup \, ]0, +\infty[$. On note $\mathcal{P}_n$ la propriété définie pour tout $n \geq 2$ par $\mathcal{P}_n$ : $(1+x)^n \gt 1+nx$. Montrons $\mathcal{P}_n$ par récurrence.

Initialisation : On teste la propriété au rang $2$ :

$\mathcal{P}_2$: $(1+x)^2 = 1 + 2x + x^2 \gt 1 + 2x$ (car $x^2 \gt 0$).

La propriété est vraie au rang $2$.

Hérédité : Supposons la propriété vraie à un rang $n \geq 2$ et vérifions qu'elle est vraie au rang $n+1$.

En multipliant les deux membres de l'inégalité de l'hypothèse de récurrence par $1+x \geq 0$ (qui ne change donc pas le sens de l'inégalité), on obtient :

$(1+x)^n (1+x) \geq (1+nx)(1+x)$
$\iff (1+x)^{n+1} \geq 1 + (n+1)x + nx^2 \gt 1 + (n+1)x$

Conclusion :

La propriété est initialisée au rang $2$ et est héréditaire. Ainsi, $\mathcal{P}_n$ est vraie pour tout $n \geq 2$.