Terminale
I – Définitions
1. Suites numériques
Pour rappel, on appelle suite une fonction (et plus précisément application) de
Définition
Il y a plusieurs manières de définir une suite :
- Par récurrence : On donne le premier terme de la suite ainsi que le terme au rang
- Par son terme général : On donne le
Attention ! Bien que ces deux modes de génération soient les principaux, il en existe d'autres : algorithme, motifs géométriques, ...
Exemple
On définit les suites
On remarque que bien que définies différemment,
2. Sens de variation
Définition
Soit
Si une suite est croissante ou décroissante et ne change pas de variation, alors elle est dite monotone.
3. Convergence et divergence
Convergence
On dit qu'une suite
Pour tout
Cette définition est un peu abstraite mais elle signifie simplement que
Attention ! Il est tout à fait possible que la suite
Divergence vers
On dit qu'une suite
Pour tout
Il existe une définition similaire pour la divergence vers
Divergence vers
Dire que
Pour tout
À noter que l'on n'étudie les limites des suites que quand
II – Calcul de limites
1. Limites de suites de référence
Nous allons donner quelques suites classiques avec leur limite en
Limites de suites usuelles
| Suite | Limite quand |
|---|---|
Nous allons désormais donner la limite d'une catégorie de suite très importante en mathématiques : celle des suites géométriques. Ainsi :
Limite de suites géométriques
Soit
| Limite d'une suite géométrique | |||
|---|---|---|---|
| Si on a... | |||
| Alors la suite | Pas de limite |
Le réel
2. Opérations sur les limites
Dans tout ce qui suit,
Limite d'une somme
| Limite d'une somme | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Si la limite de | ||||||
| Et la limite de | ||||||
| Alors la limite de | ? |
Limite d'un produit
| Limite d'un produit | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Si la limite de | |||||||||
| Et la limite de | |||||||||
| Alors la limite de | ? |
Limite d'un quotient
| Limite d'un quotient | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Si la limite de | |||||||||
| Et la limite de | |||||||||
| Alors la limite de | ? | ? |
Formes indéterminées
À noter qu'il n'existe que 4 formes indéterminées :
3. Majoration, minoration et bornes
Définition
Soient une suite
- On dit que
- On dit que
- On dit que
Théorème
- Si
- Si
Toute suite convergente est également bornée.
4. Comparaisons et encadrements
Théorèmes de comparaison
Soient deux suites
- Si
- Si
- Si
Théorème des gendarmes
Soient trois suites
Alors
III – Raisonnement par récurrence
Si on souhaite montrer qu'une propriété est vraie pour tout
Raisonnement par récurrence
Initialisation : On teste la propriété au rang
Hérédité : On suppose la propriété vraie à un rang
Conclusion : On explique que l'on vient de démontrer la propriété au rang
Exemple
Soit une suite
On note
On constate que
Initialisation : On teste la propriété au rang
Hérédité : Supposons la propriété vraie à un rang
D'après
Or
Conclusion : La propriété est initialisée au rang
Le raisonnement par récurrence est très utilisé en mathématiques et ne se limite pas qu'à l'étude des suites. On peut par exemple l'utiliser pour montrer l'inégalité de Bernoulli.