Définitions

Suites numériques

Pour rappel, on appelle suite une fonction (et plus précisément application) de N\mathbb{N} dans R\mathbb{R} : cette fonction va prendre des éléments de l’ensemble de départ N\mathbb{N} et va les amener dans l’ensemble d’arrivée R\mathbb{R}.

Définition

Il y a plusieurs manières de définir une suite :

  • Par récurrence : On donne le premier terme de la suite ainsi que le terme au rang n+1n+1.

  • Par son terme général : On donne le nn-ième terme de la suite en fonction de nn.

Attention ! Bien que ces deux modes de génération soient les principaux, il en existe d’autres : algorithme, motifs géométriques, ...

Exemple

On définit les suites (un)(u_n) et (vn)(v_n) ainsi :

  • un=nu_n = n pour tout nNn \in \mathbb{N} ((un)(u_n) est définie par son terme général).

  • (vn)={v0=0vn+1=vn+1 pour tout n1(v_n) = \begin{cases} v_0 = 0 \\ v_{n+1} = v_n + 1 \text{ pour tout } n \geq 1 \end{cases} ((vn)(v_n) est définie par récurrence).

On remarque que bien que définies différemment, (un)(u_n) et (vn)(v_n) sont égales.

Sens de variation

Définition

Soit (un)(u_n) une suite.

  • (un)(u_n) est croissante si on a un+1unu_{n+1} \geq u_n (ou un+1un0u_{n+1} - u_n \geq 0) pour tout nNn \in \mathbb{N}.

  • (un)(u_n) est décroissante si on a un+1unu_{n+1} \leq u_n (ou un+1un0u_{n+1} - u_n \leq 0) pour tout nNn \in \mathbb{N}.

  • (un)(u_n) est dite constante s’il existe cRc \in \mathbb{R} tel que un=cu_n = c pour tout nNn \in \mathbb{N}.

Si une suite est croissante ou décroissante et ne change pas de variation, alors elle est dite monotone.

Convergence et divergence

Convergence

On dit qu’une suite (un)(u_n) converge vers un réel \ell quand nn tend vers ++\infty si :

Pour tout ϵ>0\epsilon > 0, l’intervalle ouvert ]ϵ,+ϵ[]\ell-\epsilon, \ell+\epsilon[, contient tous les termes de la suite (un)(u_n) à partir d’un certain rang. On note alors : limn+un=\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = \ell.

Cette définition est un peu abstraite mais elle signifie simplement que unu_n se rapproche autant que l’on veut de \ell pourvu que nn soit assez grand.

Attention ! Il est tout à fait possible que la suite (un)(u_n) converge vers un réel \ell mais ne soit jamais égal à \ell.

Divergence vers ++\infty

On dit qu’une suite (vn)(v_n) diverge vers ++\infty quand nn tend vers ++\infty si :

Pour tout A>0A > 0, il existe un rang NN tel que pour tout nNn \geq N, vn>Av_n > A. On note alors : limn+un=+\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = +\infty.

Il existe une définition similaire pour la divergence vers -\infty.

Divergence vers -\infty

Dire que (vn)(v_n) diverge vers -\infty signifie que :

Pour tout A>0A > 0, il existe un rang NN tel que pour tout nNn \geq N, vn<Av_n < -A. On note alors : limn+un=\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = -\infty.

À noter que l’on n’étudie les limites des suites que quand nn tend vers ++\infty, et qu’il est possible qu’une suite n’admette pas de limite. On dit alors que cette suite diverge. Par contre, si une suite converge vers une limite, alors cette limite est unique.

Calcul de limites

Limites de suites de référence

Nous allons donner quelques suites classiques avec leur limite en ++\infty :

Limites de suites usuelles

Suite Limite quand nn tend vers ++\infty
(n)(\sqrt{n}) ++\infty
(n)(n) ++\infty
(nk)(n^k), pour kNk \in \mathbb{N}^* ++\infty
(1n)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) 00
(1n)\left(\frac{1}{n}\right) 00
(1nk)\left(\frac{1}{n^k}\right), pour kNk \in \mathbb{N}^* 00

Nous allons désormais donner la limite d’une catégorie de suite très importante en mathématiques : celle des suites géométriques. Ainsi :

Limite de suites géométriques

Soit (vn)(v_n) une suite définie pour tout nNn \in \mathbb{N} par vn=qnv_n = q^n (où qq est un nombre réel). Alors, on peut donner la limite de la suite (vn)(v_n) en fonction de qq :

Limite d’une suite géométrique
Si on a... 1<q<1-1 < q < 1 1<q1 < q q1q \leq -1 q=1q = 1
Alors la suite (vn)(v_n) a pour limite... 00 ++\infty Pas de limite 11

Le réel qq est la raison de la suite : si q>1q > 1, (vn)(v_n) est strictement croissante, si 0<q<10 < q < 1, (vn)(v_n) est strictement décroissante et si q=1q = 1 ou 00, (vn)(v_n) est constante.

Opérations sur les limites

Dans tout ce qui suit, (un)(u_n) et (vn)(v_n) sont deux suites. Ces tableaux sont à connaître et sont requis pour pouvoir travailler sur les limites.

Limite d’une somme

Limite d’une somme
Si la limite de (un)(u_n) quand nn tend vers ++\infty est... \ell \ell \ell ++\infty -\infty ++\infty
Et la limite de (vn)(v_n) quand nn tend vers ++\infty est... \ell' ++\infty -\infty ++\infty -\infty -\infty
Alors la limite de (un+vn)(u_n + v_n) quand nn tend vers ++\infty est... +\ell + \ell' ++\infty -\infty ++\infty -\infty ?

Limite d’un produit

Limite d’un produit
Si la limite de (un)(u_n) quand nn tend vers ++\infty est... \ell >0\ell > 0 >0\ell > 0 <0\ell < 0 <0\ell < 0 ++\infty ++\infty -\infty 00
Et la limite de (vn)(v_n) quand nn tend vers ++\infty est... \ell' ++\infty -\infty ++\infty -\infty ++\infty -\infty -\infty ±\pm \infty
Alors la limite de (un×vn)(u_n \times v_n) quand nn tend vers ++\infty est... ×\ell \times \ell' ++\infty -\infty -\infty ++\infty ++\infty -\infty ++\infty ?

Limite d’un quotient

Limite d’un quotient
Si la limite de (un)(u_n) quand nn tend vers ++\infty est... \ell \ell ++\infty ++\infty -\infty -\infty ±\pm \infty \ell 00
Et la limite de (vn)(v_n) quand nn tend vers ++\infty est... 0\ell' \neq 0 ±\pm \infty >0\ell' > 0 <0\ell' < 0 >0\ell' > 0 <0\ell' < 0 ±\pm \infty 0+0^+_- 00
Alors la limite de (unvn)\left(\frac{u_n}{v_n}\right) quand nn tend vers ++\infty est... \frac{\ell}{\ell'} 00 ++\infty -\infty -\infty ++\infty ? ±\pm \infty ?

Formes indéterminées

À noter qu’il n’existe que 4 formes indéterminées : ++\infty - \infty, 0×±0 \times \pm \infty, ±±\frac{\pm \infty}{\pm \infty} et 00\frac{0}{0}.

Majoration, minoration et bornes

Définition

Soient une suite (un)(u_n) et deux réels mm et MM :

  • On dit que mm est un minorant de (un)(u_n) si pour tout nn : un>mu_n > m.

  • On dit que MM est un majorant de (un)(u_n) si pour tout nn : un<Mu_n < M.

  • On dit que (un)(u_n) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Théorème

  • Si (un)(u_n) est croissante et est majorée, alors elle est convergente. Si elle n’est pas majorée, (un)(u_n) diverge vers ++\infty.

  • Si (un)(u_n) est décroissante et est minorée, alors elle est convergente. Si elle n’est pas minorée, (un)(u_n) diverge vers -\infty.

Démonstration

Toute suite convergente est également bornée.

Comparaisons et encadrements

Théorèmes de comparaison

Soient deux suites (un)(u_n) et (vn)(v_n) telles que un<vnu_n < v_n à partir d’un certain rang NN. On a :

  • Si limn+un=+\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = +\infty, alors limn+vn=+\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n = +\infty.

  • Si limn+vn=\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n = -\infty, alors limn+un=\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = -\infty.

  • Si limn+un=\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = \ell et limn+vn=\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n = \ell' alors <\ell < \ell'.

Démonstration

Théorème des gendarmes

Soient trois suites (un)(u_n), (vn)(v_n) et (wn)(w_n). On suppose que un<vn<wnu_n < v_n < w_n à partir d’un certain rang et que (un)(u_n) et (wn)(w_n) convergent vers le réel \ell.

Alors limn+vn=\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n = \ell.

Raisonnement par récurrence

Si on souhaite montrer qu’une propriété est vraie pour tout nNn \in \mathbb{N} à partir d’un certain rang pp, il est possible d’utiliser un type de raisonnement appelé raisonnement par récurrence.

Raisonnement par récurrence

Initialisation : On teste la propriété au rang pp. Si elle est vérifiée, on passe à l’étape suivante.

Hérédité : On suppose la propriété vraie à un rang npn \geq p. Puis on montre qu’elle reste vraie au rang n+1n+1.

Conclusion : On explique que l’on vient de démontrer la propriété au rang n+1n+1 et que comme celle-ci est initialisée et héréditaire, alors elle est vraie à partir du rang pp.

Exemple

Soit une suite (un)(u_n) définie par (un)={u0=4un+1=4un+17un+4(u_n) = \begin{cases} u_0 = 4\\ u_{n+1} = \frac{4u_n + 17}{u_n + 4}\end{cases}. On souhaite montrer que pour tout nNn \in \mathbb{N}, on a 4un54 \leq u_n \leq 5.

On note Pn\mathcal{P}_n la propriété définie pour tout nNn \in \mathbb{N} par Pn\mathcal{P}_n : 4un54 \leq u_n \leq 5.

On constate que un+1=4un+17un+4=4(un+4)+1un+4=4+1un+4u_{n+1} = \frac{4u_n + 17}{u_n + 4} = \frac{4(u_n + 4) + 1}{u_n + 4} = 4 + \frac{1}{u_n + 4}.

Initialisation : On teste la propriété au rang 00 : 4u05    4454 \leq u_0 \leq 5 \iff 4 \leq 4 \leq 5. C’est vrai : la propriété P0\mathcal{P}_0 est vraie.

Hérédité : Supposons la propriété vraie à un rang nNn \in \mathbb{N} et vérifions qu’elle est vraie au rang n+1n+1.

D’après Pn\mathcal{P}_n : 4un54 \leq u_n \leq 5. Donc on a : 4un5    4+4un+45+4    191un+418    4+194+1un+44+18\begin{aligned} 4 \leq u_n \leq 5 &\iff 4 + 4 \leq u_n + 4 \leq 5 + 4 \\ &\iff \frac{1}{9} \leq \frac{1}{u_n + 4} \leq \frac{1}{8} \\ &\iff 4 + \frac{1}{9} \leq 4 + \frac{1}{u_n + 4} \leq 4 + \frac{1}{8} \end{aligned} Or 4+194,111>44 + \frac{1}{9} \approx 4,111 > 4 et 4+18=4,125<54 + \frac{1}{8} = 4,125 < 5. On a donc bien : 4un+154 \leq u_{n+1} \leq 5 Conclusion : La propriété est initialisée au rang 00 et est héréditaire. Ainsi, Pn\mathcal{P}_n est vraie pour tout nNn \in \mathbb{N}.

Le raisonnement par récurrence est très utilisé en mathématiques et ne se limite pas qu’à l’étude des suites. On peut par exemple l’utiliser pour montrer l’inégalité de Bernoulli.

Inégalité de Bernoulli

(1+x)n>1+nx(1 + x)^n > 1 + nx pour tout n2n \geq 2 et tout x[1,0[]0,+[x \in [-1, 0[ \, \cup \, ]0, +\infty[.

Démonstration

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Anonyme

cool dhè

31/05/2022 19:43:14
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Anonyme

l'application incroyable

27/05/2022 10:55:42
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Anonyme

un Jardinr corrè est intourè de 3 ranges de fil de fer a150um le metrè le prix tôtol du fil est de 45000um colcul la voleur de ce Jardinr a raison de 2800um le metrè corre

25/05/2022 19:16:38
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ahida

j’adore l’application

22/05/2022 08:45:38
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Anonyme

au top

08/03/2022 13:43:40