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Suites numériques

Pour rappel, on appelle suite une fonction (et plus précisément application) de $N$ dans $R$ : cette fonction va prendre des éléments de l’ensemble de départ $N$ et va les amener dans l’ensemble d’arrivée $R$ .

Définition

Il y a plusieurs manières de définir une suite :

Par récurrence : On donne le premier terme de la suite ainsi que le terme au rang $n + 1$ .
Par son terme général : On donne le $n$ -ième terme de la suite en fonction de $n$ .

Attention ! Bien que ces deux modes de génération soient les principaux, il en existe d’autres : algorithme, motifs géométriques, ...

Exemple

On définit les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ ainsi :

$u_{n} = n$ pour tout $n \in N$ ( $(u_{n})$ est définie par son terme général).
$(v_{n}) = {v_{0} = 0 v_{n + 1} = v_{n} + 1 pour tout n \geq 1$ ( $(v_{n})$ est définie par récurrence).

On remarque que bien que définies différemment, $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont égales.

Sens de variation

Définition

Soit $(u_{n})$ une suite.

$(u_{n})$ est croissante si on a $u_{n + 1} \geq u_{n}$ (ou $u_{n + 1} - u_{n} \geq 0$ ) pour tout $n \in N$ .
$(u_{n})$ est décroissante si on a $u_{n + 1} \leq u_{n}$ (ou $u_{n + 1} - u_{n} \leq 0$ ) pour tout $n \in N$ .
$(u_{n})$ est dite constante s’il existe $c \in R$ tel que $u_{n} = c$ pour tout $n \in N$ .

Si une suite est croissante ou décroissante et ne change pas de variation, alors elle est dite monotone.

Convergence et divergence

Convergence

On dit qu’une suite $(u_{n})$ converge vers un réel $ℓ$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ si :

Pour tout $ϵ > 0$ , l’intervalle ouvert $] ℓ - ϵ, ℓ + ϵ [$ , contient tous les termes de la suite $(u_{n})$ à partir d’un certain rang. On note alors : $n \to + \infty lim u_{n} = ℓ$ .

Cette définition est un peu abstraite mais elle signifie simplement que $u_{n}$ se rapproche autant que l’on veut de $ℓ$ pourvu que $n$ soit assez grand.

Attention ! Il est tout à fait possible que la suite $(u_{n})$ converge vers un réel $ℓ$ mais ne soit jamais égal à $ℓ$ .

Divergence vers $+ \infty$

On dit qu’une suite $(v_{n})$ diverge vers $+ \infty$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ si :

Pour tout $A > 0$ , il existe un rang $N$ tel que pour tout $n \geq N$ , $v_{n} > A$ . On note alors : $n \to + \infty lim u_{n} = + \infty$ .

Il existe une définition similaire pour la divergence vers $- \infty$ .

Divergence vers $- \infty$

Dire que $(v_{n})$ diverge vers $- \infty$ signifie que :

Pour tout $A > 0$ , il existe un rang $N$ tel que pour tout $n \geq N$ , $v_{n} < - A$ . On note alors : $n \to + \infty lim u_{n} = - \infty$ .

À noter que l’on n’étudie les limites des suites que quand $n$ tend vers $+ \infty$ , et qu’il est possible qu’une suite n’admette pas de limite. On dit alors que cette suite diverge. Par contre, si une suite converge vers une limite, alors cette limite est unique.

Limites de suites de référence

Nous allons donner quelques suites classiques avec leur limite en $+ \infty$ :

Limites de suites usuelles

Suite	Limite quand $n$ tend vers $+ \infty$
$(n)$	$+ \infty$
$(n)$	$+ \infty$
$(n^{k})$ , pour $k \in N^{*}$	$+ \infty$
$(\frac{1}{n})$	$0$
$(\frac{1}{n})$	$0$
$(\frac{1}{n ^{k}})$ , pour $k \in N^{*}$	$0$

Nous allons désormais donner la limite d’une catégorie de suite très importante en mathématiques : celle des suites géométriques. Ainsi :

Limite de suites géométriques

Soit $(v_{n})$ une suite définie pour tout $n \in N$ par $v_{n} = q^{n}$ (où $q$ est un nombre réel). Alors, on peut donner la limite de la suite $(v_{n})$ en fonction de $q$ :

Limite d’une suite géométrique
Si on a...	$- 1 < q < 1$	$1 < q$	$q \leq - 1$	$q = 1$
Alors la suite $(v_{n})$ a pour limite...	$0$	$+ \infty$	Pas de limite	$1$

Le réel $q$ est la raison de la suite : si $q > 1$ , $(v_{n})$ est strictement croissante, si $0 < q < 1$ , $(v_{n})$ est strictement décroissante et si $q = 1$ ou $0$ , $(v_{n})$ est constante.

Opérations sur les limites

Dans tout ce qui suit, $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont deux suites. Ces tableaux sont à connaître et sont requis pour pouvoir travailler sur les limites.

Limite d’une somme

Limite d’une somme
Si la limite de $(u_{n})$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ est...	$ℓ$	$ℓ$	$ℓ$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$
Et la limite de $(v_{n})$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ est...	$ℓ^{'}$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$- \infty$
Alors la limite de $(u_{n} + v_{n})$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ est...	$ℓ + ℓ^{'}$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	?

Limite d’un produit

Limite d’un produit
Si la limite de $(u_{n})$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ est...	$ℓ$	$ℓ > 0$	$ℓ > 0$	$ℓ < 0$	$ℓ < 0$	$+ \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$0$
Et la limite de $(v_{n})$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ est...	$ℓ^{'}$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$- \infty$	$\pm \infty$
Alors la limite de $(u_{n} \times v_{n})$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ est...	$ℓ \times ℓ^{'}$	$+ \infty$	$- \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	?

Limite d’un quotient

Limite d’un quotient
Si la limite de $(u_{n})$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ est...	$ℓ$	$ℓ$	$+ \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$- \infty$	$\pm \infty$	$ℓ$	$0$
Et la limite de $(v_{n})$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ est...	$ℓ^{'} \neq = 0$	$\pm \infty$	$ℓ^{'} > 0$	$ℓ^{'} < 0$	$ℓ^{'} > 0$	$ℓ^{'} < 0$	$\pm \infty$	$0_{-}^{+}$	$0$
Alors la limite de $(\frac{u _{n}}{v _{n}})$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ est...	$\frac{ℓ}{ℓ ^{'}}$	$0$	$+ \infty$	$- \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	?	$\pm \infty$	?

Formes indéterminées

À noter qu’il n’existe que 4 formes indéterminées : $+ \infty - \infty$ , $0 \times \pm \infty$ , $\frac{\pm \infty}{\pm \infty}$ et $\frac{0}{0}$ .

Majoration, minoration et bornes

Définition

Soient une suite $(u_{n})$ et deux réels $m$ et $M$ :

On dit que $m$ est un minorant de $(u_{n})$ si pour tout $n$ : $u_{n} > m$ .
On dit que $M$ est un majorant de $(u_{n})$ si pour tout $n$ : $u_{n} < M$ .
On dit que $(u_{n})$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Théorème

Si $(u_{n})$ est croissante et est majorée, alors elle est convergente. Si elle n’est pas majorée, $(u_{n})$ diverge vers $+ \infty$ .
Si $(u_{n})$ est décroissante et est minorée, alors elle est convergente. Si elle n’est pas minorée, $(u_{n})$ diverge vers $- \infty$ .

Démonstration

Il faut savoir montrer que toute suite croissante et non majorée diverge vers $+ \infty$ . C’est ce que nous allons faire ici. Soit donc $(u_{n})$ une telle suite. Soit $A > 0$ , on cherche un rang $N$ tel que pour tout $n \geq N$ , $u_{n} > A$ .

Or, comme $(u_{n})$ est non majorée, il existe $N$ tel que $u_{N} > A$ . De plus, comme $(u_{n})$ est croissante, alors $A < u_{N} \leq u_{N + 1} \leq u_{N + 2} \leq \dots$

Donc on a bien trouvé notre rang $N$ vérifiant la définition de la divergence vers $+ \infty$ .

Toute suite convergente est également bornée.

Comparaisons et encadrements

Théorèmes de comparaison

Soient deux suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ telles que $u_{n} < v_{n}$ à partir d’un certain rang $N$ . On a :

Si $n \to + \infty lim u_{n} = + \infty$ , alors $n \to + \infty lim v_{n} = + \infty$ .
Si $n \to + \infty lim v_{n} = - \infty$ , alors $n \to + \infty lim u_{n} = - \infty$ .
Si $n \to + \infty lim u_{n} = ℓ$ et $n \to + \infty lim v_{n} = ℓ^{'}$ alors $ℓ < ℓ^{'}$ .

Démonstration

Il peut être utile de savoir démontrer le premier point dans le cas $N = 0$ (les autres points se démontrent de manière semblable). Supposons $n \to + \infty lim u_{n} = + \infty$ . Soit $A > 0$ , on cherche un rang $p$ tel que pour tout $n \geq p$ , $v_{n} > A$ .

Comme $u_{n}$ diverge vers $+ \infty$ , il existe un rang $q$ tel que pour tout $n \geq q$ , $u_{n} > A$ . Donc on a : $A < u_{q} < v_{q}$ , mais aussi $A < u_{q + 1} < v_{q + 1}$ , etc.

Donc il suffit de poser $p = q$ et on a bien notre rang vérifiant la définition de la divergence vers $+ \infty$ .

Théorème des gendarmes

Soient trois suites $(u_{n})$ , $(v_{n})$ et $(w_{n})$ . On suppose que $u_{n} < v_{n} < w_{n}$ à partir d’un certain rang et que $(u_{n})$ et $(w_{n})$ convergent vers le réel $ℓ$ .

Alors $n \to + \infty lim v_{n} = ℓ$ .

Si on souhaite montrer qu’une propriété est vraie pour tout $n \in N$ à partir d’un certain rang $p$ , il est possible d’utiliser un type de raisonnement appelé raisonnement par récurrence.

Raisonnement par récurrence

Initialisation : On teste la propriété au rang $p$ . Si elle est vérifiée, on passe à l’étape suivante.

Hérédité : On suppose la propriété vraie à un rang $n \geq p$ . Puis on montre qu’elle reste vraie au rang $n + 1$ .

Conclusion : On explique que l’on vient de démontrer la propriété au rang $n + 1$ et que comme celle-ci est initialisée et héréditaire, alors elle est vraie à partir du rang $p$ .

Exemple

Soit une suite $(u_{n})$ définie par $(u_{n}) = {u_{0} = 4 u_{n + 1} = \frac{4 u _{n} + 17}{u _{n} + 4}$ . On souhaite montrer que pour tout $n \in N$ , on a $4 \leq u_{n} \leq 5$ .

On note $P_{n}$ la propriété définie pour tout $n \in N$ par $P_{n}$ : $4 \leq u_{n} \leq 5$ .

On constate que $u_{n + 1} = \frac{4 u _{n} + 17}{u _{n} + 4} = \frac{4 ( u _{n} + 4 ) + 1}{u _{n} + 4} = 4 + \frac{1}{u _{n} + 4}$ .

Initialisation : On teste la propriété au rang $0$ : $4 \leq u_{0} \leq 5 ⟺ 4 \leq 4 \leq 5$ . C’est vrai : la propriété $P_{0}$ est vraie.

Hérédité : Supposons la propriété vraie à un rang $n \in N$ et vérifions qu’elle est vraie au rang $n + 1$ .

D’après $P_{n}$ : $4 \leq u_{n} \leq 5$ . Donc on a :

\end{aligned}" data-latex-display="true"> $4 \leq u_{n} \leq 5 ⟺ 4 + 4 \leq u_{n} + 4 \leq 5 + 4 ⟺ \frac{1}{9} \leq \frac{1}{u _{n} + 4} \leq \frac{1}{8} ⟺ 4 + \frac{1}{9} \leq 4 + \frac{1}{u _{n} + 4} \leq 4 + \frac{1}{8}$ Or $4 + \frac{1}{9} \approx 4, 111 > 4$ et $4 + \frac{1}{8} = 4, 125 < 5$ . On a donc bien : $4 \leq u_{n + 1} \leq 5$ Conclusion : La propriété est initialisée au rang $0$ et est héréditaire. Ainsi, $P_{n}$ est vraie pour tout $n \in N$ .

Le raisonnement par récurrence est très utilisé en mathématiques et ne se limite pas qu’à l’étude des suites. On peut par exemple l’utiliser pour montrer l’inégalité de Bernoulli.

Inégalité de Bernoulli

$(1 + x)^{n} > 1 + n x$ pour tout $n \geq 2$ et tout $x \in [- 1, 0 [\cup] 0, + \infty [$ .

Démonstration

Inégalité de Bernoulli

Soit $x \in [- 1, 0 [\cup] 0, + \infty [$ . On note $P_{n}$ la propriété définie pour tout $n \geq 2$ par $P_{n}$ : $(1 + x)^{n} > 1 + n x$ . Montrons $P_{n}$ par récurrence.

Initialisation : On teste la propriété au rang $2$ : $(1 + x)^{2} = 1 + 2 x + x^{2} > 1 + 2 x$ (car $x^{2} > 0$ ). La propriété $P_{2}$ est vraie.

Hérédité : Supposons la propriété vraie à un rang $n \geq 2$ et vérifions qu’elle est vraie au rang $n + 1$ .

En multipliant les deux membres de l’inégalité de l’hypothèse de récurrence par $1 + x \geq 0$ (qui ne change donc pas le sens de l’inégalité), on obtient : $(1 + x)^{n} (1 + x) \geq (1 + n x) (1 + x) ⟺ (1 + x)^{n + 1} \geq 1 + (n + 1) x + n x^{2} > 1 + (n + 1) x$ Conclusion :

La propriété est initialisée au rang $2$ et est héréditaire. Ainsi, $P_{n}$ est vraie pour tout $n \geq 2$ .

Définitions

Suites numériques

Définition

Exemple

Sens de variation

Définition

Convergence et divergence

Convergence

Divergence vers +∞

Divergence vers −∞

Calcul de limites

Limites de suites de référence

Limites de suites usuelles

Limite de suites géométriques

Opérations sur les limites

Limite d’une somme

Limite d’un produit

Limite d’un quotient

Formes indéterminées

Majoration, minoration et bornes

Définition

Théorème

Comparaisons et encadrements

Théorèmes de comparaison

Théorème des gendarmes

Raisonnement par récurrence

Raisonnement par récurrence

Exemple

Inégalité de Bernoulli

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