Chapitre I – Les suites
Qu'est-ce qu'une suite ?
Définition
On appelle suite une fonction de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$ : cette fonction va prendre des éléments d'un ensemble de départ $\mathbb{N}$ et va les amener dans un ensemble d'arrivée $\mathbb{R}$.
Il y a plusieurs manières de définir une suite :
- Par récurrence : On donne le premier terme de la suite ainsi que le terme au rang $n+1$.
- Par son terme général : On donne le $n$-ième terme de la suite en fonction de $n$.
Exemple : Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on définit les suites $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ainsi :
$u_n = n$
$(v_n)_{n \in \mathbb{N}} = \begin{cases} v_0 = 0 \\ v_{n+1} = v_n + 1 \end{cases}$.
On remarque que bien que définies différemment, $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sont égales.
Suites arithmétiques
Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite arithmétique si elle est de la forme :
$u_{n+1} = u_n + r$ avec $r \in \mathbb{R}$.
Le réel $r$ est la raison de la suite (si $r \gt 0$, $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement croissante, si $r \lt 0$, $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement décroissante et si $r = 0$, $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est constante). Il est possible de trouver le terme général d'une suite arithmétique :
On note $p$ le rang initial de la suite (celui à partir duquel la suite est définie) :
$u_n = u_p + (n-p) \times r$
Et si $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est définie à partir du rang $0$ (on a $p = 0$) :
$u_n = u_0 + (n-0) \times r = u_0 + n \times r$
La somme des $n$ premiers termes d'une suite arithmétique est donnée par la formule suivante (on note $S_n$ cette somme) :
$\displaystyle{S_n = \frac{(\text{Premier terme } + \text{ Dernier terme}) \times (\text{Nombre de termes})}{2}}$
Astuce : Pour trouver le nombre de termes, on prend le rang jusqu'auquel on souhaite calculer cette somme, on y soustrait l'indice du premier terme et on y ajoute $1$.
Exemple : Soit une suite $(u_n)_{n \geq 1}$ définie par $(u_n)_{n \geq 1}$ : $\begin{cases} u_1 = 10\\ u_{n+1} = u_n + 5 \end{cases}$ pour $n \in \mathbb{N}$ et $n \geq 1$.
La raison $r$ est égale à $5$. Le premier terme est $u_1 = 10$ d'indice $p = 1$. Le terme général de cette suite est donc $u_n = u_1 + (n-1) \times r$.
Par conséquent, on a : $u_n = 10 + (n-1) \times 5$. On souhaite calculer la somme des termes de cette suite jusqu'au rang $n$. Par l'astuce précédente, il y a $n-1+p = n$ termes. On peut calculer la somme $S_n$ :
$S_n = \frac{(u_1 + u_n) \times (n)}{2} = \frac{(20 + (n-1) \times 5)(n)}{2} = \frac{5n^2 + 15n}{2}$.
Suites géométriques
Une suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite géométrique si elle est de la forme :
$v_{n+1} = v_n \times q$ avec $q \in \mathbb{R}$.
Le réel $q$ est la raison de la suite (si $q \gt 1$, $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement croissante, si $0 \lt q \lt 1$, $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement décroissante et si $q = 1$ ou $0$, $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est constante). Il est possible de trouver le terme général d'une suite géométrique :
On note $p$ le rang initial de la suite (celui à partir duquel la suite est définie) :
$v_n = v_p \times q^{n-p}$
Et si $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est définie à partir du rang $0$ (on a $p = 0$) :
$v_n = v_0 \times q^{n-0} = v_0 \times q^n$
La somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique est donnée par la formule suivante (on note $S_n$ cette somme) :
$\displaystyle{S_n = (\text{Premier terme}) \times \frac{1 - q^\text{Nombre de termes}}{1 - q}}$
Astuce : Pour trouver le nombre de termes, on prend le rang jusqu'auquel on souhaite calculer cette somme. On y soustrait l'indice du premier terme et on y ajoute $1$.
Exemple : Soit une suite $(v_n)_{n \geq 2}$ définie par $(v_n)_{n \geq 2}$ : $\begin{cases} v_2 = 1\\ v_{n+1} = v_n \times 2\end{cases}$ pour $n \in \mathbb{N}$ et $n \geq 2$.
La raison $q$ est égale à $2$. Le premier terme est $v_2 = 1$ d'indice $p = 2$. Le terme général de cette suite est donc $v_n = v_2 \times q^{n-2}$.
Par conséquent, on a : $v_n = 2^{n-2}$. On souhaite calculer la somme des termes de cette suite jusqu'au rang $n$. Par l'astuce précédente, il y a $n-1+p = n + 1$ termes. On peut calculer la somme $S_n$ :
$S_n = v_2 \times \frac{1 - q^{n-1}}{1 - q} = -(1 - 2^{n-1}) = 2^{n-1} - 1$.
Étude des suites
Sens de variation
Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est croissante si on a :
$u_{n+1} \geq u_n$ ou $u_{n+1} - u_n \geq 0$
À l'inverse, une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante si on a :
$u_{n+1} \leq u_n$ ou $u_{n+1} - u_n \leq 0$
Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite constante si on a pour $c \in \mathbb{R}$ :
$u_{n} = u_{n+1} = c$
Si une suite est croissante ou décroissante et ne change pas de variation, alors elle est dite monotone.
Limites
On dit qu'une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers une limite finie $l$ si pour tout $\epsilon \gt 0$, on a $|u_n - l| \lt \epsilon$. Cette définition est un peu technique mais elle signifie qu'il existe une infinité de réels entre $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $l$. On dit que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est convergente et on note alors :
$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = l$
Attention ! On dit que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $l$ mais jamais $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ n'atteindra $l$ quand $n$ tend vers +$\infty$.
La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ peut également diverger vers une limite infinie. On dit à ce moment là que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est divergente. On note ainsi :
$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = \pm \infty$
Il est possible d'écrire une définition semblable à celle de la convergence.
Ainsi, si $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ diverge vers $+\infty$ quand $n$ tend vers +$\infty$, cela signifie que pour tout réel $h$ et à partir d'un certain rang $M$, on aura $u_M \gt h$.
Et si $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ diverge vers $-\infty$ quand $n$ tend vers +$\infty$, cela signifie que pour tout réel $h$ et à partir d'un certain rang $m$, on aura $u_m \lt h$.
| Limite d'une suite géométrique | ||||
|---|---|---|---|---|
| Si on a pour $q \in \mathbb{R}$... | $-1 \lt q \lt 1$ | $1 \lt q$ | $q \leq -1$ | $q = 1$ |
| La suite $q^n$ a pour limite... | $0$ | $+\infty$ | Pas de limite | $1$ |
À savoir que si une suite a une limite, alors cette limite est unique.
Opérations sur les limites
Dans tout ce qui suit, $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sont deux suites. Ces tableaux sont à connaître et sont requis pour pouvoir travailler sur les limites.
| Limite d'une somme | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n$ | $l$ | $l$ | $l$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ |
| $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n$ | $l'$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ |
| $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (u_n + v_n)$ | $l + l'$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | ? |
| Limite d'un produit | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n$ | $l$ | $l \gt 0$ | $l \gt 0$ | $l \lt 0$ | $l \lt 0$ | $+\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $0$ |
| $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n$ | $l'$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ | $\pm \infty$ |
| $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (u_n \times v_n)$ | $l \times l'$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | ? |
| Limite d'un quotient | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n$ | $l$ | $l$ | $+\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ | $\pm \infty$ | $l$ | $0$ |
| $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n$ | $l' \neq 0$ | $\pm \infty$ | $l' \gt 0$ | $l' \lt 0$ | $l' \gt 0$ | $l' \lt 0$ | $\pm \infty$ | $0^+_-$ | $0$ |
| $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (\frac{u_n}{v_n})$ | $\displaystyle{\frac{l}{l'}}$ | $0$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | ? | $\pm \infty$ | ? |
À noter que l'on n'étudie les limites des suites qu'en $+\infty$ et qu'il n'existe que 4 formes indéterminées :
$+\infty - \infty$
, $0 \times \pm \infty$
, $\frac{\pm \infty}{\pm \infty}$
et $\frac{0}{0}$
.
Majoration, minoration et bornes
Soient une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et deux réels $m$ et $M$ :
- On dit que que $m$ est un minorant de $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ si pour tout $n$ : $u_n \gt m$.
- On dit que que $M$ est un majorant de $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ si pour tout $n$ : $u_n \lt M$.
- On dit que que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
- Si $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est croissante et est majorée, alors elle est convergente. Si elle n'est pas majorée, $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ diverge vers $+\infty$.
- Si $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante et est minorée, alors elle est convergente. Si elle n'est pas minorée, $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ diverge vers $-\infty$.
Toute suite convergente est également bornée.
Encadrement
Soient deux suites $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telles que $u_n \lt v_n$ à partir d'un certain rang. On a :
- Si $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = +\infty$, alors $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n = +\infty$.
- Si $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n = -\infty$, alors $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = -\infty$.
- Si $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = l$ et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n = l'$ alors $l \lt l'$.
Soient trois suites $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$, $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(w_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telles que $u_n \lt v_n \lt w_n$ à partir d'un certain rang et que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(w_n)_{n \in \mathbb{N}}$ convergent vers le réel $l$. Alors :
$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n = l$
Ce théorème est appelé théorème des gendarmes.
Raisonnement par récurrence
Si on souhaite montrer qu'une propriété est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$ à partir d'un certain rang $p$ :
Initialisation : On teste la propriété au rang $p$. Si elle est vérifiée, on passe à l'étape suivante.
Hérédité : On suppose la propriété vraie à un rang $n \geq p$. Puis on montre qu'elle reste vraie au rang $n+1$.
Conclusion : On explique que l'on vient de démontrer la propriété au rang $n+1$ et que comme celle-ci est initialisée et héréditaire, alors elle est vraie à partir du rang $p$.
Exemple : Soit une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ : $\begin{cases} u_0 = 4\\ u_{n+1} = \frac{4u_n + 17}{u_n + 4}\end{cases}$. On souhaite montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $4 \leq u_n \leq 5$.
On note $\mathcal{P}_n$ la propriété définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $\mathcal{P}_n$ : $4 \leq u_n \leq 5$.
On constate également que $u_{n+1} = \frac{4u_n + 17}{u_n + 4} = \frac{4(u_n + 4) + 1}{u_n + 4} = 4 + \frac{1}{u_n + 4}$.
Initialisation : On teste la propriété au rang $0$ :
$\mathcal{P}_0$ : $4 \leq u_0 \leq 5 \iff 4 \leq 4 \leq 5$. C'est vrai.
La propriété est vraie au rang $0$, on souhaite vérifier que la propriété est vraie au rang $n+1$.
Hérédité :
D'après $\mathcal{P}_n$ : $4 \leq u_n \leq 5$. Donc on a :
$\iff 4 \leq u_n \leq 5$
$\iff 4 + 4 \leq u_n + 4 \leq 5 + 4$
$\iff \frac{1}{9} \leq \frac{1}{u_n + 4} \leq \frac{1}{8}$ (la fonction inverse est décroissante sur $\mathbb{R}^+$ donc on change l'inégalité)
$\iff 4 + \frac{1}{9} \leq 4 + \frac{1}{u_n + 4} \leq 4 + \frac{1}{8}$
Or $4 + \frac{1}{9} \approx 4.111 \gt 4$ et $4 + \frac{1}{8} = 4.125 \lt 5$. On a donc bien :
$4 \leq u_{n+1} \leq 5$
Conclusion :
La propriété est initialisée au rang $0$ et est héréditaire. Ainsi, $\mathcal{P}_n$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Le raisonnement par récurrence est très utilisé en mathématiques et ne se limite pas qu'à l'étude des suites.
Commentaires
Anonyme
20/06/2019 14:58super
6/05/2019 03:15