Définitions

Suites numériques

Pour rappel, on appelle suite une fonction (et plus précisément application) de dans : cette fonction va prendre des éléments de l’ensemble de départ et va les amener dans l’ensemble d’arrivée .

Définition

Il y a plusieurs manières de définir une suite :

  • Par récurrence : On donne le premier terme de la suite ainsi que le terme au rang .
  • Par son terme général : On donne le -ième terme de la suite en fonction de .

Attention ! Bien que ces deux modes de génération soient les principaux, il en existe d’autres : algorithme, motifs géométriques, ...

Exemple

On définit les suites et ainsi :

  • pour tout ( est définie par son terme général).
  • ( est définie par récurrence).

On remarque que bien que définies différemment, et sont égales.

Sens de variation

Définition

Soit une suite.

  • est croissante si on a (ou ) pour tout .
  • est décroissante si on a (ou ) pour tout .
  • est dite constante s’il existe tel que pour tout .

Si une suite est croissante ou décroissante et ne change pas de variation, alors elle est dite monotone.

Convergence et divergence

Convergence

On dit qu’une suite converge vers un réel quand tend vers si :

Pour tout , l’intervalle ouvert , contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On note alors : .

Cette définition est un peu abstraite mais elle signifie simplement que se rapproche autant que l’on veut de pourvu que soit assez grand.

Attention ! Il est tout à fait possible que la suite converge vers un réel mais ne soit jamais égal à .

Divergence vers

On dit qu’une suite diverge vers quand tend vers si :

Pour tout , il existe un rang tel que pour tout , . On note alors : .

Il existe une définition similaire pour la divergence vers .

Divergence vers

Dire que diverge vers signifie que :

Pour tout , il existe un rang tel que pour tout , . On note alors : .

À noter que l’on n’étudie les limites des suites que quand tend vers , et qu’il est possible qu’une suite n’admette pas de limite. On dit alors que cette suite diverge. Par contre, si une suite converge vers une limite, alors cette limite est unique.

Calcul de limites

Limites de suites de référence

Nous allons donner quelques suites classiques avec leur limite en :

Limites de suites usuelles

SuiteLimite quand tend vers
, pour
, pour

Nous allons désormais donner la limite d’une catégorie de suite très importante en mathématiques : celle des suites géométriques. Ainsi :

Limite de suites géométriques

Soit une suite définie pour tout par (où est un nombre réel). Alors, on peut donner la limite de la suite en fonction de :

Limite d’une suite géométrique
Si on a...
Alors la suite a pour limite...Pas de limite

Le réel est la raison de la suite : si , est strictement croissante, si , est strictement décroissante et si ou , est constante.

Opérations sur les limites

Dans tout ce qui suit, et sont deux suites. Ces tableaux sont à connaître et sont requis pour pouvoir travailler sur les limites.

Limite d’une somme

Limite d’une somme
Si la limite de quand tend vers est...
Et la limite de quand tend vers est...
Alors la limite de quand tend vers est...?

Limite d’un produit

Limite d’un produit
Si la limite de quand tend vers est...
Et la limite de quand tend vers est...
Alors la limite de quand tend vers est...?

Limite d’un quotient

Limite d’un quotient
Si la limite de quand tend vers est...
Et la limite de quand tend vers est...
Alors la limite de quand tend vers est...??

Formes indéterminées

À noter qu’il n’existe que 4 formes indéterminées : , , et .

Majoration, minoration et bornes

Définition

Soient une suite et deux réels et :

  • On dit que est un minorant de si pour tout : .
  • On dit que est un majorant de si pour tout : .
  • On dit que est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Théorème

  • Si est croissante et est majorée, alors elle est convergente. Si elle n’est pas majorée, diverge vers .
  • Si est décroissante et est minorée, alors elle est convergente. Si elle n’est pas minorée, diverge vers .

Il faut savoir montrer que toute suite croissante et non majorée diverge vers . C’est ce que nous allons faire ici. Soit donc une telle suite. Soit , on cherche un rang tel que pour tout , .

Or, comme est non majorée, il existe tel que . De plus, comme est croissante, alors

Donc on a bien trouvé notre rang vérifiant la définition de la divergence vers .

Toute suite convergente est également bornée.

Comparaisons et encadrements

Théorèmes de comparaison

Soient deux suites et telles que à partir d’un certain rang . On a :

  • Si , alors .
  • Si , alors .
  • Si et alors .

Il peut être utile de savoir démontrer le premier point dans le cas (les autres points se démontrent de manière semblable). Supposons . Soit , on cherche un rang tel que pour tout , .

Comme diverge vers , il existe un rang tel que pour tout , . Donc on a : , mais aussi , etc.

Donc il suffit de poser et on a bien notre rang vérifiant la définition de la divergence vers .

Théorème des gendarmes

Soient trois suites , et . On suppose que à partir d’un certain rang et que et convergent vers le réel .

Alors .

Raisonnement par récurrence

Si on souhaite montrer qu’une propriété est vraie pour tout à partir d’un certain rang , il est possible d’utiliser un type de raisonnement appelé raisonnement par récurrence.

Raisonnement par récurrence

Initialisation : On teste la propriété au rang . Si elle est vérifiée, on passe à l’étape suivante.

Hérédité : On suppose la propriété vraie à un rang . Puis on montre qu’elle reste vraie au rang .

Conclusion : On explique que l’on vient de démontrer la propriété au rang et que comme celle-ci est initialisée et héréditaire, alors elle est vraie à partir du rang .

Exemple

Soit une suite définie par . On souhaite montrer que pour tout , on a .

On note la propriété définie pour tout par : .

On constate que .

Initialisation : On teste la propriété au rang : . C’est vrai : la propriété est vraie.

Hérédité : Supposons la propriété vraie à un rang et vérifions qu’elle est vraie au rang .

D’après : . Donc on a :

\end{aligned}" data-latex-display="true"> Or et . On a donc bien : Conclusion : La propriété est initialisée au rang et est héréditaire. Ainsi, est vraie pour tout .

Le raisonnement par récurrence est très utilisé en mathématiques et ne se limite pas qu’à l’étude des suites. On peut par exemple l’utiliser pour montrer l’inégalité de Bernoulli.

Inégalité de Bernoulli

pour tout et tout .

Inégalité de Bernoulli

Soit . On note la propriété définie pour tout par : . Montrons par récurrence.

Initialisation : On teste la propriété au rang : (car ). La propriété est vraie.

Hérédité : Supposons la propriété vraie à un rang et vérifions qu’elle est vraie au rang .

En multipliant les deux membres de l’inégalité de l’hypothèse de récurrence par (qui ne change donc pas le sens de l’inégalité), on obtient : Conclusion :

La propriété est initialisée au rang et est héréditaire. Ainsi, est vraie pour tout .

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Orochimaru

Orochimaru

Vraiment pas mal du tout le cours.

04/03/2023 20:36:11
Anonyme

Anonyme

cool dhè

31/05/2022 19:43:14
Anonyme

Anonyme

l'application incroyable

27/05/2022 10:55:42
Anonyme

Anonyme

un Jardinr corrè est intourè de 3 ranges de fil de fer a150um le metrè le prix tôtol du fil est de 45000um colcul la voleur de ce Jardinr a raison de 2800um le metrè corre

25/05/2022 19:16:38
ahida

ahida

j’adore l’application

22/05/2022 08:45:38
Anonyme

Anonyme

au top

08/03/2022 13:43:40
Skyost

Skyost Modérateur

Vous pouvez retrouver les suites arithmétiques dans le cours de Première 😉

05/02/2022 14:21:16
ima

ima

c'est bon mais je ne vois pas les suites arithmétique

05/02/2022 00:05:49
Anonyme

Anonyme

super très chic

21/09/2021 17:26:38
Anonyme

Anonyme

salut

06/09/2021 13:09:21
Anonyme

Anonyme

bonsoir

06/12/2020 17:44:07
Kima

Kima

Vos cours sont bien structurés et simple, j'aime ça. Par contre, il n'y a pas assez exples. Pour chaques notion ou partie du cours il faut qu'il ait au moins 2exples simples et bien clair. Aussi, traîter bien les sujets qui nous semble important et difficile à comprendre telque : Dénombrement, probabilité, barycentre, suites numérique, homothétie, rotation et similitudes et statistiques à deux variables. Si cela est fait et bien fait vous serait kes numéro 1.

30/09/2020 10:36:37
Harley Queen

Harley Queen

rres bien

03/06/2020 08:26:32
Skyost

Skyost Modérateur

Ni les transformations du plan, ni les suites de nombres complexes ne sont au programme de cette année. En revanche il est tout-à-fait possible de les retrouver dans le cadre d'un exercice (surtout vrai pour les suites de complexes). Les notions du programme vous sont accessibles ici : https://www.maths-france.fr/Terminale/TerminaleS/ProgrammeOfficiel_TerminaleS_2012.pdf.

10/04/2020 09:19:25
Anonyme

Anonyme

qu'en est il de la relation entre les suites et les nombres complexes puis les suites et les transformations du plan?

10/04/2020 00:00:36
Anonyme

Anonyme

good

30/03/2020 08:11:47
Anonyme

Anonyme

c'est intéressant

20/06/2019 12:58:18
super

super

Super

06/05/2019 01:15:28

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