Définition

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur un univers $\Omega$ et soit $\lambda$ un réel. On définit :

• $X+Y$ la variable aléatoire somme de $X$ et $Y$ définie pour tout $\omega \in \Omega$ par $(X+Y)(\omega )=X(\omega )+Y(\omega )$.

• $\lambda X$ la variable aléatoire produit de $\lambda$ et $X$ définie pour tout $\omega \in \Omega$ par $(\lambda X)(\omega )=\lambda X(\omega )$.

Exemple

Encore une fois, il s’agit d’une définition un peu compliquée. Illustrons ceci par un exemple.

On lance deux dés différents, équilibrés, et numérotés de $1$ à $6$. On note par $X$ la variable aléatoire donnant le résultat sur lequel tombe le premier dé, et par $Y$ la variable aléatoire donnant le résultat sur lequel tombe le second dé.

Dans cette situation, la variable aléatoire somme $X+Y$ donne la somme obtenue en additionnant le nombre sur lequel le premier dé est tombé avec celui sur lequel le deuxième dé est tombé.

Linéarité de l’espérance

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur un univers $\Omega$ et soit $\lambda$ un réel. Alors :

• $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$.

• $E(\lambda X)=\lambda E(X)$.

Applications

Appliquons la première formule à l’exemple de la partie précédente.

On a $E(X)=E(Y)=1\times \frac{1}{6}+2\times \frac{1}{6}+3\times \frac{1}{6}+4\times \frac{1}{6}+5\times \frac{1}{6}+6\times \frac{1}{6}=3,5$.

Donc $E(X+Y)=E(X)+E(Y)=3,5+3,5=7$.

L’interprétation de ces calculs est, qu’en moyenne, sur un grand nombre de lancers, la somme obtenue lorsque l’on additionne le résultat des deux dés vaut $7$.

Variance et écart-type

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur un univers $\Omega$ et soit $\lambda$ un réel. Alors :

• $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ si $X$ et $Y$ sont indépendantes (c’est-à-dire si le résultat de l’une n’a pas d’incidence sur le résultat de l’autre).

• $V(\lambda X)={\lambda }^{2}V(X)$.

• $\sigma (\lambda X)=\sqrt{{\lambda }^2}\sigma (X)$.

Échantillon aléatoire

Un $n$-uplet de variables aléatoires $(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ qui sont toutes indépendantes et qui suivent une même loi de probabilité est appelé échantillon aléatoire de taille $n$ associé à cette loi.

Espérance de variables aléatoires de même loi

Soit $(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ un échantillon aléatoire de taille $n$. On pose $S_n=X_1+X_2+\cdots +X_n$ et $M_n=\frac{S_n}{n}$. Alors :

• $E(S_n)=nE(X_1)$ et $V(S_n)=nV(X_1)$.

• $E(M_n)=E\left(\frac{S_n}{n}\right)=\frac{E(S_n)}{n}=E(X_1)$ et $V(M_n)=\frac{V(S_n)}{n^2}=\frac{V(X_1)}{n}$.

Note

Petite note sur le nom des variables aléatoires précédentes :

• $S_n$ est la somme des $n$ variables aléatoires.

• $M_n$ est la moyenne empirique des $n$ variables aléatoires.

Somme de variables aléatoires indépendantes suivant une même loi de Bernoulli

Soit $(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ un échantillon aléatoire de taille $n$ associé à une loi de Bernoulli de paramètre $p$.

Alors $X_1+X_2+\cdots +X_n$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$.

Exemple

On lance en même temps deux pièces équilibrées en l’air. On suppose qu’un succès est représenté par Pile.

On modélise le résultat de la première par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi de Bernoulli $\mathcal{B}(0,5)$. De même, on modélise le résultat de la seconde par une variable aléatoire $Y$ suivant la même loi que $X$.

Alors $X+Y$ (qui modélise le nombre de Pile obtenus au total par les deux pièces) suit une loi binomiale $\mathcal{B}(2;0,5)$.

Décomposition d’une variable aléatoire suivant une loi binomiale

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$.

Alors il existe $n$ variables aléatoires indépendantes $X_1$, $X_2$, ... , $X_n$ suivant toutes une loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$, et telles que $X=X_1+X_2+\cdots +X_n$.

Exemple

Soit $X$ suivant une loi binomiale $\mathcal{B}\left(3;\frac{1}{6}\right)$. Alors par la propriété précédente, il existe $X_1$, $X_2$ et $X_3$, indépendantes et suivant une loi $\mathcal{B}\left(\frac{1}{6}\right)$ telles que $X=X_1+X_2+X_3$.

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Soit $X$ une variable aléatoire d’espérance $E(X)=\mu$ et de variance $V(X)=V$. Alors pour tout réel strictement positif $\delta$, $P(|X-\mu |\ge \delta )\le \frac{V}{{\delta }^2}$.

Autre formulation

Une autre formulation de cette inégalité est la suivante : $P(X\notin ]\mu -\delta ;\mu +\delta [)\le \frac{V(X)}{{\delta }^2}$.

Inégalité de concentration

Soit $(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ un échantillon aléatoire de taille $n$ associé à une loi d’espérance $\mu$ et de variance $V$. On pose $M_n=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}$, la moyenne empirique de cet échantillon.

Alors pour tout réel strictement positif $\delta$, $P(|M_n-\mu |\ge \delta )\le \frac{V}{n{\delta }^2}$.

Loi faible des grands nombres

Soit $(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ un échantillon aléatoire de taille $n$ associé à une loi d’espérance $\mu$ et de variance $V$. On pose $M_n=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}$, la moyenne empirique de cet échantillon.

Alors pour tout réel strictement positif $\delta$, $\underset{n\to +\infty }{\lim }P(|M_n-\mu |\ge \delta )=0$.

Ce théorème signifie que la moyenne de l’échantillon se rapproche des moyennes des variables aléatoires quand la taille de l’échantillon augmente.

Prenons l’exemple d’une maternité au 1 janvier et supposons que le premier-né soit un garçon. Il est tout à fait possible que le deuxième bébé soit également un garçon, alors que, statistiquement, on aurait pu s’attendre à une fille.

Mais l’année peut très bien commencer par une dizaine de naissances de garçons à la suite !

Cependant, si on fait un nouveau point au $31$ décembre, on va se rendre compte, qu’effectivement, il y a eu environ 50 % de naissances de garçons et 50 % de naissances de filles. Il s’agit là d’un cas d’application de la loi des grands nombres.