Terminale
I – Somme de deux variables aléatoires
1. Définition
Il arrive que, on ne puisse pas modéliser une situation donnée à l'aide d'une seule variable aléatoire simple. C'est pourquoi il est parfois utile d'en additionner plusieurs ou bien d'en multiplier par un réel.
Définition
Soient
Exemple
Encore une fois, il s'agit d'une définition un peu compliquée. Illustrons ceci par un exemple.
On lance deux dés différents, équilibrés, et numérotés de
Dans cette situation, la variable aléatoire somme
2. Espérance, variance et écart-type
Une somme de variable aléatoire reste une variable aléatoire. Donc il est tout à fait possible de calculer l'espérance, la variance, l'écart-type, ... d'une somme de variables aléatoires.
Voyons dans un premier temps une propriété de l'espérance permettant de calculer plus facilement l'espérance d'une combinaison linéaire de variables aléatoires.
Linéarité de l'espérance
Soient
Applications
Appliquons la première formule à l'exemple de la partie précédente.
On a
Donc
En termes d'interprétation, cela signifie qu'en moyenne, sur un grand nombre de lancers, la somme obtenue lorsque l'on
additionne le résultat des deux dés vaut
Voyons désormais des formules permettant de calculer la variance et l'écart-type d'une combinaison linéaire de variables aléatoires.
Variance et écart-type
Soient
II – Somme de plusieurs variables aléatoires
1. Définition et propriétés
Nous allons tenter de généraliser un petit peu le concept vu dans la section précédente. En effet, au lieu d'étudier la
somme de deux variables aléatoires, on va étudier la somme de
En classe de Terminale, on se limite au cas où ces variables aléatoires suivent une même loi.
Échantillon aléatoire
Un
Espérance de variables aléatoires de même loi
Soit
Note
Petite note sur le nom des variables aléatoires précédentes :
2. Somme / décompositions de certaines variables aléatoires
Nous allons maintenant énoncer une propriété utile qui permet de trouver la loi suivie par une somme de variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Bernoulli.
Somme de variables aléatoires indépendantes suivant une même loi de Bernoulli
Soit
Alors
Exemple
On lance en même temps deux pièces équilibrées en l'air. On suppose qu'un succès est représenté par Pile.
On modélise le résultat de la première par une variable aléatoire
Alors
Enfin, signalons qu'il existe une réciproque de la première propriété qui permet de transformer une variable aléatoire suivant une loi binomiale en somme de variables aléatoires suivant une loi de Bernoulli.
Décomposition d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale
Soit
Alors il existe
Exemple
Soit
III – Concentration et loi des grands nombres
1. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Soit
Autre formulation
Une autre formulation de cette inégalité est la suivante :
Cette inégalité est un peu abstraite, donnons tout de suite un exemple.
Exemple
Le poids moyen d'un bébé en kilogrammes à la naissance peut être modélisé par une variable aléatoire
Un bébé est considéré de poids normal si son poids est compris entre
On a
La probabilité qu'un bébé ne soit pas de poids normal à la naissance ne dépasse pas
Cette majoration n'est pas très satisfaisante, mais cela vient principalement du fait que la variance est trop élevée.
2. Inégalité de concentration
Inégalité de concentration
Soit
Alors pour tout réel strictement positif
3. Loi des grands nombres
Loi faible des grands nombres
Soit
Alors pour tout réel strictement positif
Ce théorème signifie que la moyenne de l'échantillon se rapproche des moyennes des variables aléatoires quand la taille de l'échantillon augmente.
Prenons l'exemple d'une maternité au 1er janvier et supposons que le premier-né soit un garçon. Il est tout à fait possible que le deuxième bébé soit également un garçon, alors que, statistiquement, on aurait pu s'attendre à une fille.
Mais l'année peut très bien commencer par une dizaine de naissances de garçons à la suite !
Cependant, si on fait un nouveau point au 31 décembre, on va se rendre compte, qu'effectivement, il y a eu environ 50 % de naissances de garçons et 50 % de naissances de filles. Il s'agit là d'un cas d'application de la loi des grands nombres.