Définition

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur un univers $\Omega$ et soit $\lambda$ un réel. On définit :

• $X+Y$ la variable aléatoire somme de $X$ et $Y$ définie pour tout $\omega \in \Omega$ par $(X+Y)(\omega )=X(\omega )+Y(\omega )$.
• $\lambda X$ la variable aléatoire produit de $\lambda$ et $X$ définie pour tout $\omega \in \Omega$ par $(\lambda X)(\omega )=\lambda X(\omega )$.

Linéarité de l’espérance

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur un univers $\Omega$ et soit $\lambda$ un réel. Alors :

• $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$.
• $E(\lambda X)=\lambda E(X)$.

Variance et écart-type

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur un univers $\Omega$ et soit $\lambda$ un réel. Alors :

• $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ si $X$ et $Y$ sont indépendantes (c’est-à-dire si le résultat de l’une n’a pas d’incidence sur le résultat de l’autre).
• $V(\lambda X)={\lambda }^{2}V(X)$.
• $\sigma (\lambda X)=\sqrt{{\lambda }^2}\sigma (X)$.

Échantillon aléatoire

Un $n$-uplet de variables aléatoires $(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ qui sont toutes indépendantes et qui suivent une même loi de probabilité est appelé échantillon aléatoire de taille $n$ associé à cette loi.

Espérance de variables aléatoires de même loi

Soit $(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ un échantillon aléatoire de taille $n$. On pose $S_n=X_1+X_2+\cdots +X_n$ et $M_n=\frac{S_n}{n}$. Alors :

• $E(S_n)=nE(X_1)$ et $V(S_n)=nV(X_1)$.
• $E(M_n)=E\left(\frac{S_n}{n}\right)=\frac{E(S_n)}{n}=E(X_1)$ et $V(M_n)=\frac{V(S_n)}{n^2}=\frac{V(X_1)}{n}$.

Somme de variables aléatoires indépendantes suivant une même loi de Bernoulli

Soit $(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ un échantillon aléatoire de taille $n$ associé à une loi de Bernoulli de paramètre $p$.

Alors $X_1+X_2+\cdots +X_n$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$.

Décomposition d’une variable aléatoire suivant une loi binomiale

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$.

Alors il existe $n$ variables aléatoires indépendantes $X_1$, $X_2$, ... , $X_n$ suivant toutes une loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$, et telles que $X=X_1+X_2+\cdots +X_n$.

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Soit $X$ une variable aléatoire d’espérance $E(X)=\mu$ et de variance $V(X)=V$. Alors pour tout réel strictement positif $\delta$, $P(|X-\mu |\ge \delta )\le \frac{V}{{\delta }^2}$.

Inégalité de concentration

Soit $(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ un échantillon aléatoire de taille $n$ associé à une loi d’espérance $\mu$ et de variance $V$. On pose $M_n=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}$, la moyenne empirique de cet échantillon.

Alors pour tout réel strictement positif $\delta$, $P(|M_n-\mu |\ge \delta )\le \frac{V}{n{\delta }^2}$.

Loi faible des grands nombres

Soit $(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ un échantillon aléatoire de taille $n$ associé à une loi d’espérance $\mu$ et de variance $V$. On pose $M_n=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}$, la moyenne empirique de cet échantillon.

Alors pour tout réel strictement positif $\delta$, $\underset{n\to +\infty }{\lim }P(|M_n-\mu |\ge \delta )=0$.