Chapitre XI – Variables aléatoires, concentration et loi des grands nombres

Fiche résumée

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En mathématiques, la loi des grands nombres permet d’interpréter la probabilité comme une fréquence de réalisation, justifiant ainsi le principe des sondages, et présente l’espérance comme une moyenne.
Nous commencerons ce chapitre par quelques rappels sur les variables aléatoires. Nous approfondirons cette notions en sommant plusieurs variables aléatoires, puis nous verrons certains résultats très importants en probabilités et en statistiques, comme l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, l'inégalité de concentration et la loi des grands nombres.

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I – Somme de deux variables aléatoires

1. Définition

Il arrive que, on ne puisse pas modéliser une situation donnée à l'aide d'une seule variable aléatoire simple. C'est pourquoi il est parfois utile d'en additionner plusieurs ou bien d'en multiplier par un réel.

Définition

Soient et deux variables aléatoires définies sur un univers et soit un réel. On définit :

  • la variable aléatoire somme de et définie pour tout par .
  • la variable aléatoire produit de et définie pour tout par .

2. Espérance, variance et écart-type

Une somme de variable aléatoire reste une variable aléatoire. Donc il est tout à fait possible de calculer l'espérance, la variance, l'écart-type, ... d'une somme de variables aléatoires.

Voyons dans un premier temps une propriété de l'espérance permettant de calculer plus facilement l'espérance d'une combinaison linéaire de variables aléatoires.

Linéarité de l'espérance

Soient et deux variables aléatoires définies sur un univers et soit un réel. Alors :

  • .
  • .

Voyons désormais des formules permettant de calculer la variance et l'écart-type d'une combinaison linéaire de variables aléatoires.

Variance et écart-type

Soient et deux variables aléatoires définies sur un univers et soit un réel. Alors :

  • si et sont indépendantes (c'est-à-dire si le résultat de l'une n'a pas d'incidence sur le résultat de l'autre).
  • .
  • .

II – Somme de plusieurs variables aléatoires

1. Définition et propriétés

Nous allons tenter de généraliser un petit peu le concept vu dans la section précédente. En effet, au lieu d'étudier la somme de deux variables aléatoires, on va étudier la somme de variables aléatoires.

En classe de Terminale, on se limite au cas où ces variables aléatoires suivent une même loi.

Échantillon aléatoire

Un -uplet de variables aléatoires qui sont toutes indépendantes et qui suivent une même loi de probabilité est appelé échantillon aléatoire de taille associé à cette loi.

Espérance de variables aléatoires de même loi

Soit un échantillon aléatoire de taille . On pose et . Alors :

  • et .
  • et .

2. Somme / décompositions de certaines variables aléatoires

Nous allons maintenant énoncer une propriété utile qui permet de trouver la loi suivie par une somme de variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Bernoulli.

Somme de variables aléatoires indépendantes suivant une même loi de Bernoulli

Soit un échantillon aléatoire de taille associé à une loi de Bernoulli de paramètre .

Alors suit une loi binomiale .

Enfin, signalons qu'il existe une réciproque de la première propriété qui permet de transformer une variable aléatoire suivant une loi binomiale en somme de variables aléatoires suivant une loi de Bernoulli.

Décomposition d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale

Soit une variable aléatoire suivant une loi binomiale .

Alors il existe variables aléatoires indépendantes , , ... , suivant toutes une loi de Bernoulli , et telles que .

III – Concentration et loi des grands nombres

1. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Soit une variable aléatoire d'espérance et de variance . Alors pour tout réel strictement positif , .

2. Inégalité de concentration

Inégalité de concentration

Soit un échantillon aléatoire de taille associé à une loi d'espérance et de variance . On pose , la moyenne empirique de cet échantillon.

Alors pour tout réel strictement positif , .

3. Loi des grands nombres

Loi faible des grands nombres

Soit un échantillon aléatoire de taille associé à une loi d'espérance et de variance . On pose , la moyenne empirique de cet échantillon.

Alors pour tout réel strictement positif , .