Chapitre XI – Variables aléatoires, concentration et loi des grands nombres

Fiche résumée

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En mathématiques, la loi des grands nombres permet d’interpréter la probabilité comme une fréquence de réalisation, justifiant ainsi le principe des sondages, et présente l’espérance comme une moyenne.
Nous commencerons ce chapitre par quelques rappels sur les variables aléatoires. Nous approfondirons cette notions en sommant plusieurs variables aléatoires, puis nous verrons certains résultats très importants en probabilités et en statistiques, comme l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, l'inégalité de concentration et la loi des grands nombres.

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Somme de deux variables aléatoires

Définition

Il arrive que, on ne puisse pas modéliser une situation donnée à l’aide d’une seule variable aléatoire simple. C’est pourquoi il est parfois utile d’en additionner plusieurs ou bien d’en multiplier par un réel.

Définition

Soient XX et YY deux variables aléatoires définies sur un univers Ω\Omega et soit λ\lambda un réel. On définit :

  • X+YX + Y la variable aléatoire somme de XX et YY définie pour tout ω∈Ω\omega \in \Omega par (X+Y)(ω)=X(ω)+Y(ω)(X + Y)(\omega) = X(\omega) + Y(\omega).

  • λX\lambda X la variable aléatoire produit de λ\lambda et XX définie pour tout ω∈Ω\omega \in \Omega par (λX)(ω)=λX(ω)(\lambda X)(\omega) = \lambda X(\omega).

Espérance, variance et écart-type

Une somme de variable aléatoire reste une variable aléatoire. Donc il est tout à fait possible de calculer l’espérance, la variance, l’écart-type, ... d’une somme de variables aléatoires.

Voyons dans un premier temps une propriété de l’espérance permettant de calculer plus facilement l’espérance d’une combinaison linéaire de variables aléatoires.

Linéarité de l’espérance

Soient XX et YY deux variables aléatoires définies sur un univers Ω\Omega et soit λ\lambda un réel. Alors :

  • E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(X + Y) = E(X) + E(Y).

  • E(λX)=λE(X)E(\lambda X) = \lambda E(X).

Voyons désormais des formules permettant de calculer la variance et l’écart-type d’une combinaison linéaire de variables aléatoires.

Variance et écart-type

Soient XX et YY deux variables aléatoires définies sur un univers Ω\Omega et soit λ\lambda un réel. Alors :

  • V(X+Y)=V(X)+V(Y)V(X + Y) = V(X) + V(Y) si XX et YY sont indépendantes (c’est-à-dire si le résultat de l’une n’a pas d’incidence sur le résultat de l’autre).

  • V(λX)=λ2V(X)V(\lambda X) = \lambda^2 V(X).

  • σ(λX)=λ2σ(X)\sigma(\lambda X) = \sqrt{\lambda^2} \sigma(X).

Somme de plusieurs variables aléatoires

Définition et propriétés

Nous allons tenter de généraliser un petit peu le concept vu dans la section précédente. En effet, au lieu d’étudier la somme de deux variables aléatoires, on va étudier la somme de nn variables aléatoires.

En classe de Terminale, on se limite au cas où ces variables aléatoires suivent une même loi.

Échantillon aléatoire

Un nn-uplet de variables aléatoires (X1,X2,…,Xn)(X_1, X_2, \dots, X_n) qui sont toutes indépendantes et qui suivent une même loi de probabilité est appelé échantillon aléatoire de taille nn associé à cette loi.

Espérance de variables aléatoires de même loi

Soit (X1,X2,…,Xn)(X_1, X_2, \dots, X_n) un échantillon aléatoire de taille nn. On pose Sn=X1+X2+⋯+XnS_n = X_1 + X_2 + \dots + X_n et Mn=SnnM_n = \frac{S_n}{n}. Alors :

  • E(Sn)=nE(X1)E(S_n) = nE(X_1) et V(Sn)=nV(X1)V(S_n) = nV(X_1).

  • E(Mn)=E(Snn)=E(Sn)n=E(X1)E(M_n) = E\left(\frac{S_n}{n}\right) = \frac{E(S_n)}{n} = E(X_1) et V(Mn)=V(Sn)n2=V(X1)nV(M_n) = \frac{V(S_n)}{n^2} = \frac{V(X_1)}{n}.

Somme / décompositions de certaines variables aléatoires

Nous allons maintenant énoncer une propriété utile qui permet de trouver la loi suivie par une somme de variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Bernoulli.

Somme de variables aléatoires indépendantes suivant une même loi de Bernoulli

Soit (X1,X2,…,Xn)(X_1, X_2, \dots, X_n) un échantillon aléatoire de taille nn associé à une loi de Bernoulli de paramètre pp.

Alors X1+X2+⋯+XnX_1 + X_2 + \dots + X_n suit une loi binomiale B(n;p)\mathcal{B}(n; p).

Enfin, signalons qu’il existe une réciproque de la première propriété qui permet de transformer une variable aléatoire suivant une loi binomiale en somme de variables aléatoires suivant une loi de Bernoulli.

Décomposition d’une variable aléatoire suivant une loi binomiale

Soit XX une variable aléatoire suivant une loi binomiale B(n;p)\mathcal{B}(n; p).

Alors il existe nn variables aléatoires indépendantes X1X_1, X2X_2, ... , XnX_n suivant toutes une loi de Bernoulli B(p)\mathcal{B}(p), et telles que X=X1+X2+⋯+XnX = X_1 + X_2 + \dots + X_n.

Concentration et loi des grands nombres

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Soit XX une variable aléatoire d’espérance E(X)=μE(X) = \mu et de variance V(X)=VV(X) = V. Alors pour tout réel strictement positif δ\delta, P(∣X−μ∣≥δ)≤Vδ2P(|X-\mu| \geq \delta) \leq \frac{V}{\delta^2}.

Inégalité de concentration

Inégalité de concentration

Soit (X1,X2,…,Xn)(X_1, X_2, \dots, X_n) un échantillon aléatoire de taille nn associé à une loi d’espérance μ\mu et de variance VV. On pose Mn=X1+X2+⋯+XnnM_n = \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n}, la moyenne empirique de cet échantillon.

Alors pour tout réel strictement positif δ\delta, P(∣Mn−μ∣≥δ)≤Vnδ2P(|M_n - \mu| \geq \delta) \leq \frac{V}{n \delta^2}.

Loi des grands nombres

Loi faible des grands nombres

Soit (X1,X2,…,Xn)(X_1, X_2, \dots, X_n) un échantillon aléatoire de taille nn associé à une loi d’espérance μ\mu et de variance VV. On pose Mn=X1+X2+⋯+XnnM_n = \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n}, la moyenne empirique de cet échantillon.

Alors pour tout réel strictement positif δ\delta, lim⁡n→+∞P(∣Mn−μ∣≥δ)=0\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} P(|M_n - \mu| \geq \delta) = 0.