I – Somme de deux variables aléatoires
1. Définition
Il arrive que, on ne puisse pas modéliser une situation donnée à l'aide d'une seule variable aléatoire simple. C'est pourquoi il est parfois utile d'en additionner plusieurs ou bien d'en multiplier par un réel.
Définition
Soient
la variable aléatoire somme de et définie pour tout par . la variable aléatoire produit de et définie pour tout par .
2. Espérance, variance et écart-type
Une somme de variable aléatoire reste une variable aléatoire. Donc il est tout à fait possible de calculer l'espérance, la variance, l'écart-type, ... d'une somme de variables aléatoires.
Voyons dans un premier temps une propriété de l'espérance permettant de calculer plus facilement l'espérance d'une combinaison linéaire de variables aléatoires.
Linéarité de l'espérance
Soient
. .
Voyons désormais des formules permettant de calculer la variance et l'écart-type d'une combinaison linéaire de variables aléatoires.
Variance et écart-type
Soient
si et sont indépendantes (c'est-à-dire si le résultat de l'une n'a pas d'incidence sur le résultat de l'autre). . .
II – Somme de plusieurs variables aléatoires
1. Définition et propriétés
Nous allons tenter de généraliser un petit peu le concept vu dans la section précédente. En effet, au lieu d'étudier la
somme de deux variables aléatoires, on va étudier la somme de
En classe de Terminale, on se limite au cas où ces variables aléatoires suivent une même loi.
Échantillon aléatoire
Un
Espérance de variables aléatoires de même loi
Soit
et . et .
2. Somme / décompositions de certaines variables aléatoires
Nous allons maintenant énoncer une propriété utile qui permet de trouver la loi suivie par une somme de variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Bernoulli.
Somme de variables aléatoires indépendantes suivant une même loi de Bernoulli
Soit
Alors
Enfin, signalons qu'il existe une réciproque de la première propriété qui permet de transformer une variable aléatoire suivant une loi binomiale en somme de variables aléatoires suivant une loi de Bernoulli.
Décomposition d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale
Soit
Alors il existe
III – Concentration et loi des grands nombres
1. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Soit
2. Inégalité de concentration
Inégalité de concentration
Soit
Alors pour tout réel strictement positif
3. Loi des grands nombres
Loi faible des grands nombres
Soit
Alors pour tout réel strictement positif