Première > Dérivation | Bacomathiques

Nombre et fonction dérivés

Nombre dérivé

Définition

Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et deux réels $a \in I$ et $h \neq = 0$ tels que $(a + h) \in I$ .

La fonction $f$ est dérivable en $a$ si la limite ci-dessous existe et est finie : $h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ Ou en posant $x = a + h$ : $x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$ Si cette limite existe et est finie, alors elle est égale au nombre dérivé de $f$ en $a$ , noté $f^{'} (a)$ .

Limite d’une fonction

La notation $h \to 0 lim$ veut simplement dire que l’on rend $h$ aussi proche de $0$ que possible (sans pour autant que $h$ soit égal à $0$ ). On dit que l’on fait tendre $h$ vers $0$ et on appelle cela une limite.

Attention ! Il arrive que cette limite n’existe pas ou ne soit pas finie. Dans ce cas-là, $f^{'} (a)$ n’existe pas et on dit que $f$ n’est pas dérivable en $a$ .

Tangente en un point

Équation de la tangente

Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et un réel $a \in I$ . Si $f$ est dérivable en $a$ , alors la courbe représentative de $f$ admet une tangente $T$ au point de coordonnées $(a; f (a))$ .

De plus, $f^{'} (a)$ est le coefficient directeur de $T$ , et une équation de $T$ est $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ .

Équation de la tangente

La tangente $T$ en un point d’une courbe est une droite. Une équation de droite est de la forme $y = m x + p$ avec $m$ le coefficient directeur et $p$ l’ordonnée à l’origine.

On a déjà le coefficient directeur de $T$ par la propriété précédente : $m = f^{'} (a)$ .

De plus, on sait que $T$ passe par le point $(a, f (a))$ (car c’est la tangente à $C_{f}$ au point d’abscisse $a$ ).

Donc l’équation de droite vérifie $f (a) = f^{'} (a) a + p$ . Ce qui donne $p = f (a) - a f^{'} (a)$ . Au final notre équation est la suivante : $y = x f^{'} (a) + f (a) - a f^{'} (a) ⟺ y = f (a) + (x - a) f^{'} (a)$ .

Fonction dérivée

Définition

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $R$ .

On appelle fonction dérivée (ou plus simplement dérivée) de $f$ la fonction $g$ qui à tout réel $x$ de $I$ , associe le nombre dérivé $f^{'} (x)$ (i.e. $g (x) = f^{'} (x)$ ).

Très souvent, la fonction $g$ sera notée $f^{'}$ .

Tables de dérivation

Dérivées usuelles

Le tableau suivant est à connaître et nous donne la dérivée de la plupart des fonctions usuelles :

Soient $λ$ une constante réelle et $n$ un entier.

Fonction	Dérivée	Domaine de dérivabilité
$x \mapsto λ$	$x \mapsto 0$	$R$
$x \mapsto x^{n}$	$x \mapsto n x^{n - 1}$	$R$
$x \mapsto \frac{1}{x}$	$x \mapsto - \frac{1}{x ^{2}}$	$R^{*}$
$x \mapsto x$	$x \mapsto \frac{1}{2 x}$	$R_{*}^{+}$
$x \mapsto e^{x}$	$x \mapsto e^{x}$	$R$
$x \mapsto sin (x)$	$x \mapsto cos (x)$	$R$
$x \mapsto cos (x)$	$x \mapsto - sin (x)$	$R$

Opérations sur les dérivées

Le tableau suivant est également à connaître et nous donne la dérivée qui dépend des opérations sur certaines fonctions :

Soient deux fonctions $u$ et $v$ et soit $λ$ une constante réelle.

Fonction	Dérivée	Domaine de dérivabilité
$λ \times u$	$λ \times u^{'}$	En tout point où $u$ est dérivable.
$u + v$	$u^{'} + v^{'}$	En tout point où $u$ et $v$ sont dérivables.
$u \times v$	$u^{'} \times v + u \times v^{'}$	En tout point où $u$ et $v$ sont dérivables.
$\frac{1}{v}$	$- \frac{v ^{'}}{v ^{2}}$	En tout point où $v$ est dérivable et non nulle.
$\frac{u}{v}$	$\frac{u ^{'} \times v - u \times v ^{'}}{v ^{2}}$	En tout point où $u$ et $v$ sont dérivables et non nulles.

Dérivées de composées

Le tableau suivant, toujours à connaître, nous donne la dérivée des fonctions composées usuelles (i.e. $f$ de $g$ de $x$ ) :

Soit $u$ une fonction.

Fonction	Dérivée	Domaine de dérivabilité
$u^{n}$ avec $n \in N^{*}$	$n u^{'} u^{n - 1}$	En tout point où $u$ est dérivable.
$\frac{1}{u}$	$- \frac{u ^{'}}{u ^{2}}$	En tout point où $u$ est dérivable et non nulle.
$u$	$\frac{u ^{'}}{2 u}$	En tout point où $u$ est dérivable et strictement positive.
$e^{u}$	$u^{'} e^{u}$	En tout point où $u$ est dérivable.
$sin (u)$	$u^{'} cos (u)$	En tout point où $u$ est dérivable.
$cos (u)$	$- u^{'} sin (u)$	En tout point où $u$ est dérivable.

Il est cependant possible de donner une formule plus générale.

Dérivée d’une composée

Soient $f$ dérivable sur $I$ et $g$ dérivable sur l’ensemble des valeurs prises par $f$ sur $I$ . On a alors $(g \circ f)^{'} = (g^{'} \circ f) \times f^{'}$ .

Fonction composée

On rappelle que la fonction $g \circ f$ est la fonction définie pour tout $x$ par $(g \circ f) (x) = g (f (x))$ .

Étude des variations d’une fonction

Lien dérivée - variations d’une fonction

Avec le signe de la dérivée d’une fonction, il est possible d’obtenir le sens de variation de cette fonction.

Variations d’une fonction

Soit une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$ .

Si $f^{'} > 0$ sur $I$ , alors $f$ est strictement croissante sur $I$ .
Si $f^{'} < 0$ sur $I$ , alors $f$ est strictement décroissante sur $I$ .
Si $f^{'} = 0$ sur $I$ , alors $f$ est constante sur $I$ .

Extrema

Étude des extrema

Soient $f$ dérivable sur un intervalle $I$ , et $a \in I$ :

Si $f$ admet un extremum local en $a$ , alors on a $f^{'} (a) = 0$ .
Si $f^{'} (a) = 0$ et que le signe de $f^{'}$ est différent avant et après $a$ , alors $f^{'} (a)$ est un extremum local de $f$ .
Si $f^{'} (a) = 0$ et qu’on est négatif avant $a$ et positif après, cet extremum local est un minimum local.
Si $f^{'} (a) = 0$ et qu’on est positif avant $a$ et négatif après, cet extremum local est un maximum local.

Avec ceci, il est possible de retrouver la plupart des formules que nous avons vues sur les fonctions du second degré (sens de variation, sommet de la parabole, ...).

Chapitre III – Dérivation

Nombre et fonction dérivés

Nombre dérivé

Définition

Limite d’une fonction

Tangente en un point

Équation de la tangente

Équation de la tangente

Fonction dérivée

Définition

Tables de dérivation

Dérivées usuelles

Opérations sur les dérivées

Dérivées de composées

Dérivée d’une composée

Fonction composée

Étude des variations d’une fonction

Lien dérivée - variations d’une fonction

Variations d’une fonction

Extrema

Étude des extrema

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Florent YEVUH