Définition

Soit $f$ une fonction. $f$ est une fonction polynômiale du second degré si elle est de la forme $f:x\mapsto a{x}^2+bx+c$ avec $a\ne 0$, $b$ et $c$ réels qui sont les coefficients de $f$.

Parabole

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré. Alors la courbe représentative de $f$ (notée ${\mathcal{C}}_f$) est une parabole.

Parité d’une fonction

On voit sur la représentation ci-dessus que la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées : la fonction $f$ représentée est paire (i.e. pour tout $x\in D_f$, $f(-x)=f(x)$).

Inversement si une fonction $f$ est symétrique par rapport à l’axe des abscisses, elle est dite impaire (i.e. pour tout $x\in D_f$, $f(-x)=-f(x)$).

Rôle des coefficients dans la représentation graphique

Soit $f$ de la forme $f(x)=a{x}^2+bx+c$ (avec $a\ne 0$, $b$ et $c$ réels). Alors on a :

• $a$ et $b$ contrôlent l’allure générale de la courbe (son orientation, son inclinaison, ...).

• $c$ contrôle l’éloignement de la courbe par rapport à l’axe des abscisses.

Rien que le signe de $a$ peut changer toute l’allure de la courbe :

• Si $a<0$, la fonction est croissante puis décroissante.

• Si $a>0$, la fonction est décroissante puis croissante.

Définition

Soient $f$ une fonction polynômiale du second degré et $x_0\in \mathbb{R}$. On dit que $x_0$ est une racine de $f$ si $f(x_0)=0$.

Autrement dit, résoudre l’équation $f(x)=0$ revient à rechercher les racines de $f$. Pour cela il existe beaucoup de méthodes et nous en détaillerons certaines par la suite.

Définition

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x)=a{x}^2+bx+c$ (avec $a\ne 0$, $b$ et $c$ réels). On appelle discriminant de $f$ le réel suivant : $$\Delta =b^2-4ac$$

Propriétés

Plusieurs propriétés découlent du signe de $\Delta$ :

• Si $\Delta <0$ alors $f$ n’admet pas de racine réelle.

• Si $\Delta =0$ alors $f$ admet une unique racine réelle : $x_0=\frac{-b}{2a}$.

• Si $\Delta >0$ alors $f$ admet deux racines réelles : $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$.

Exemple

Résolvons l’équation $x^2=4$ pour $x\in \mathbb{R}$.

On a $x^2=4⟺x^2-4=0$. Il s’agit en fait de chercher les racines de la fonction du second degré définie pour tout $x\in \mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-4$. On identifie les coefficients : $a=1$, $b=0$ et $c=-4$ ; puis on calcule le discriminant $\Delta =b^2-4ac=0-4\times 1\times -4=16$.

Comme $\Delta >0$, on a deux racines réelles : $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=-2$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=2$.

Donc l’ensemble des solutions est $S=\{-2;2\}$.

Recherche des racines rationnelles

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x)=a{x}^2+bx+c$ (avec $a\ne 0$, $b$ et $c$ réels). On note $D_c$ l’ensemble des diviseurs de $c$ et $D_a$ l’ensemble des diviseurs de $a$. Alors :

Pour trouver une éventuelle racine rationnelle de $f$, on calcule $f\left(\frac{p}{q}\right)$ pour tout $p\in D_c$ et $q\in D_a$, jusqu’à tomber sur $0$.

Exemple

Utilisons cette méthode pour déterminer les éventuelles racines rationnelles de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=4x^2-1$.

On a ici $a=4$, $b=0$ et $c=-1$ ; la liste des diviseurs de $c$ est : $-1$ et $1$. La liste des diviseurs de $a$ est : $4$, $2$, $1$, $-1$, $-2$ et $-4$. Il ne reste qu’à tester :

• $f\left(\frac{-1}{4}\right)=f\left(\frac{1}{-4}\right)\ne 0$

• $f\left(\frac{-1}{2}\right)=f\left(\frac{1}{-2}\right)=0$ Une racine !

• $f\left(\frac{-1}{1}\right)=f(-1)\ne 0$

• $f\left(\frac{-1}{-1}\right)=f(1)\ne 0$

• $f\left(\frac{-1}{-2}\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)=0$ Une racine !

On a deux racines rationnelles : $-\frac{1}{2}$ et $\frac{1}{2}$.

Pas besoin d’aller plus loin car on a trouvé deux racines et un polynôme du second degré n’admet que deux racines maximum.

Signalons de plus que l’on aurait pu s’arrêter après avoir trouvé la première racine car $f$ est une fonction paire.

Relations

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x)=a{x}^2+bx+c$ (avec $a\ne 0$, $b$ et $c$ réels) admettant deux racines réelles $x_1$ et $x_2$. Alors :

• La somme $S=x_1+x_2$ des racines vaut également $-\frac{b}{a}$.

• Le produit $P=x_1\times x_2$ des racines vaut également $\frac{c}{a}$.

Exemple

Il peut être très utile de combiner cette méthode avec celle des racines évidentes ! Par exemple, cherchons les solutions de l’équation $x^2+2x+1=0$.

Il faut donc chercher les racines de la fonction de degré 2 définie pour tout $x\in \mathbb{R}$ par $f(x)=x^2+2x+1$.

On a $a=1$, $b=2$ et $c=1$. Avec la méthode des racines évidentes, on trouve une racine $x_1=-1$.

Or, on a $x_1\times x_2=\frac{c}{a}⟺x_2=-1$. La deuxième racine vaut aussi $-1$.

On dit que $-1$ est racine double.

Définition

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x)=a{x}^2+bx+c$ (avec $a\ne 0$, $b$ et $c$ réels) admettant deux racines réelles $x_1$ et $x_2$. Alors :

$f$ admet une forme factorisée qui vaut $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ pour tout $x\in \mathbb{R}$.

Exemple

Chercher les racines de la fonction définie pour tout $x\in \mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-6x+9$.

Avec une identité remarquable, on factorise $f$ : $f(x)=(x-3{)}^2$.

Cela correspond à la forme factorisée de $f$ et elle nous permet d’en déduire que $3$ est une racine double de $f$.

Propriété

Si $c=0$, alors $-\frac{b}{a}$ et $0$ sont racines.

Signe d’une fonction du second degré

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x)=a{x}^2+bx+c$ (avec $a\ne 0$, $b$ et $c$ réels) admettant deux racines réelles $x_1$ et $x_2$. On suppose ici que $x_1<x_2$, alors :

• Si $a<0$ : $f(x)<0$ sur $]-\infty ;x_1[\cup ]x_2;+\infty [$ et $f(x)>0$ sur $]x_1;x_2[$.

• Si $a>0$ : $f(x)>0$ sur $]-\infty ;x_1[\cup ]x_2;+\infty [$ et $f(x)<0$ sur $]x_1;x_2[$.

Si $x_1=x_2$ ou si $f$ n’admet pas de racine, alors $f$ est du signe de $a$.

Forme canonique

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x)=a{x}^2+bx+c$ (avec $a\ne 0$, $b$ et $c$ réels), alors pour tout $x\in \mathbb{R}$, on peut écrire $f$ de la forme : $$f(x)=a(x-\alpha {)}^2+\beta$$ Avec $\alpha =-\frac{b}{2a}$ et $\beta =f(\alpha )$.

Sommet de la parabole

Soit $S$ le sommet de la parabole ${\mathcal{C}}_f$. Alors les coordonnées de $S$ sont $(\alpha ,\beta )$. Si $a<0$, ce sommet est un maximum et si $a>0$, ce sommet est un minimum.

Cela veut tout simplement dire que :

• Si $a<0$, le maximum de $f$ est atteint en $\alpha$ et vaut $\beta$ (donc pour tout $x\in \mathbb{R}$, $f(x)\le \beta$).

• Si $a>0$, le minimum de $f$ est atteint en $\alpha$ et vaut $\beta$ (donc pour tout $x\in \mathbb{R}$, $f(x)\ge \beta$).

Sens de variation

• Si $a<0$ : $f$ est strictement croissante sur $]-\infty ;\alpha ]$ et est strictement décroissante sur $]\alpha ;+\infty ]$.

• Si $a>0$ : $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty ;\alpha ]$ et est strictement croissante sur $]\alpha ;+\infty ]$.

Axe de symétrie

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x)=a{x}^2+bx+c$ (avec $a\ne 0$, $b$ et $c$ réels). On note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative. Alors :

${\mathcal{C}}_f$ possède un axe de symétrie : la droite $\mathcal{D}$ d’équation $x=-\frac{b}{2a}$.

En fait, $\mathcal{D}$ est juste la droite verticale passant par le sommet de la parabole.