Définition

Soient $A$ et $B$ deux événements avec $A$ de probabilité non nulle. Alors la probabilité conditionnelle de $B$ sachant que $A$ est réalisé (notée $P_A(B)$) est $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$.

Rappel

On rappelle que $P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)$.

Différence entre conditionnelle et intersection

Il faut faire attention, à bien faire la distinction entre une probabilité conditionnelle (Sachant qu’on a $A$, quelle est la probabilité d’avoir $B$ ?) et une intersection (Quelle est la probabilité d’avoir $A$ et $B$ à la fois ?).

Indépendance

Deux événements $A$ et $B$ sont dits indépendants si la réalisation de l’un n’a aucune incidence sur la réalisation de l’autre et réciproquement. C’est-à-dire si $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.

Propriétés

Pour deux événements indépendants $A$ et $B$, on a les relations suivantes :

• $P_A(B)=P(B)$

• $P_B(A)=P(A)$

Définition

Soient $A$ et $B$ deux événements. L’arbre de probabilité décrivant la situation est le suivant :

Exemple

Soit $A$ et $B$ deux événements non-indépendants tels que $P(A)=\frac{4}{7}$, $P_A(B)=\frac{1}{4}$ et $P_{\bar{A}}(B)=\frac{5}{9}$. Alors l’arbre permettant de modéliser la situation est le suivant :

Formule des probabilités totales

Soient $A_1,A_2,...,A_n$ des événements qui partitionnent (qui recouvrent) l’univers $\Omega$, alors pour tout événement $B$ : $$P(B)=P(B\cap A_1)+P(B\cap A_2)+\cdots +P(B\cap A_n)$$

Exemple

En reprenant l’arbre précédent, comme $A$ et $\bar{A}$ recouvrent notre univers (en effet, soit on tombe sur $A$, soit on tombe sur $\bar{A}$ : pas d’autre issue possible), calculons $P(B)$ :

D’après la formule des probabilités totales, $P(B)=P(B\cap A)+P(B\cap \bar{A})=\frac{107}{252}$.

Définition

Une variable aléatoire $X$ est une fonction qui, à chaque événement élémentaire de l’univers $\Omega$ y associe un nombre réel. C’est-à-dire : $X:\Omega \to \mathbb{R}$.

Les variables aléatoires sont très utiles notamment pour modéliser des situations de gains ou de pertes (à un jeu d’argent par exemple).

Définition

Soit $X$ une variable aléatoire. La loi de probabilité de $X$ attribue à chaque valeur $x_i$ la probabilité $p_i=P(X=x_i)$ de l’événement $X=x_i$ constitué de tous les événements élémentaires dont l’image par $X$ est $x_i$.

Représentation d’une loi de probabilité par un tableau

Soit $X$ une variable aléatoire. On peut représenter sa loi de probabilité par le tableau ci-contre :

On a $p_1+p_2+\cdots +p_n=1$.

Cette définition peut sembler un peu compliquée mais elle signifie juste qu’une loi de probabilité assigne une probabilité à chaque valeur prise par notre variable aléatoire.

Espérance

L’espérance $E(X)$ d’une variable aléatoire $X$ est le réel : $$E(X)=x_1\times p_1+x_2\times p_2+\cdots +x_n\times p_n$$

Variance et écart-type

La variance $V(X)$ et l’écart-type $\sigma (X)$ d’une variable aléatoire $X$ sont les réels positifs suivants :

• $V(X)=E(X^2)-E(X{)}^2$

• $\sigma (X)=\sqrt{V(X)}$

Exemple

Calcul de l’espérance, de la variance et de l’écart-type. Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi de probabilité donnée par le tableau ci-dessous :

On a :

• $E(X)=-1\times \frac{1}{4}+0\times \frac{1}{2}+2\times \frac{1}{8}+6\times \frac{1}{8}=\frac{3}{4}$

• $V(X)=((-1{)}^2\times \frac{1}{4}+0^2\times \frac{1}{2}+2^2\times \frac{1}{8}+6^2\times \frac{1}{8})-(\frac{3}{4}{)}^2=\frac{75}{16}$

• $\sigma (X)=\sqrt{\frac{75}{16}}\approx 2.165$

Signification des paramètres

• L’espérance est la valeur moyenne prise par $X$.

• La variance et l’écart-type mesurent la dispersion des valeurs prises par $X$. Plus ces valeurs sont grandes, plus les valeurs sont dispersées autour de l’espérance.