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Aires et intégrales

Dans un repère orthogonal $(O; I; J)$ , on prend un point $A = (1; 1)$ et on appelle Unité d’Aire (U.A.) l’aire du rectangle formé par les points $O$ , $I$ , $A$ et $J$ .

Soient $a$ et $b$ deux réels avec $a \leq b$ et $f$ une fonction continue sur $[a; b]$ . L’intégrale de la fonction $f$ sur $[a; b]$ notée $\int_{a}^{b} f (x) d x$ représente l’aire entre la courbe de $f$ et l’axe des abscisses délimitée par les droites d’équation $x = a$ et $x = b$ et est exprimée en U.A..

On dit que les réels $a$ et $b$ sont les bornes de l’intégrale.

Théorème fondamental de l’analyse

Pour calculer l’intégrale d’une fonction, il faut d’abord trouver la primitive de celle-ci (voir le cours sur les primitives).

Théorème fondamental de l’analyse

Soient une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ et deux réels $a$ et $b$ appartenant à $I$ . Alors : $\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)$ où $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ .

Exemple

On veut calculer l’aire entre la courbe d’une fonction $f$ définie pour tout $x \in R$ par $f (x) = 2 x + 1$ , et l’axe des abscisses sur l’intervalle $[1; 4]$ :

1ère étape : On cherche une primitive de $f$ . On trouve $F (x) = x^{2} + x = x (x + 1)$ .

2ème étape : On calcule l’intégrale. On a $\int_{1}^{4} 2 x + 1 d x = [x (x + 1)]_{1}^{4} = 4 (4 + 1) - 1 (1 + 1) = 20 - 2 = 18$ U.A.

Autre exemple

On veut calculer l’aire entre la courbe d’une fonction $f$ définie pour tout $x \in R$ par $f (x) = x$ , et l’axe des abscisses sur l’intervalle $[- 2; 2]$ :

1ère étape : On cherche une primitive de $f$ . On trouve pour tout $x \in R$ , $F (x) = \frac{x ^{2}}{2}$ .

2ème étape : On calcule l’intégrale. On a $\int_{- 2}^{2} x d x = [\frac{x ^{2}}{2}]_{- 2}^{2} = \frac{4}{2} - \frac{4}{2} = 0$ U.A.

Ce résultat est logique car l’aire au-dessus de la courbe de la fonction $f$ sur $[- 2; 0]$ est égale à l’aire sous la courbe de $f$ sur $[0; 2]$ (voir les propriétés sur les intégrales des fonctions impaires).

Signe de l’intégrale

De manière générale, le signe de l’intégrale d’une fonction sur un intervalle dépend du signe de cette fonction sur cet intervalle.

Relation signe de l’intégrale - signe de la fonction

Soient une fonction $f$ continue sur un intervalle $I = [a; b]$ .

Si $f > 0$ sur $I$ , alors $\int_{a}^{b} f (x) d x > 0$ .
Si $f < 0$ sur $I$ , alors $\int_{a}^{b} f (x) d x < 0$ .
Si $f$ change de signe sur $I$ , on ne connaît pas directement le signe de l’intégrale. Le signe dépend de la partie de l’aire qui est la plus grande.
Soit $g$ une fonction définie sur $I$ avec $f > g$ sur $I$ , alors $\int_{a}^{b} f (x) d x > \int_{a}^{b} g (x) d x$ .

Ainsi, cette intégrale sera positive :

Et cette intégrale sera négative :

Propriétés algébriques

Propriétés

Soient une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ et deux réels $a$ et $b$ appartenant à $I$ .

$\int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x$
$\int_{a}^{a} f (x) d x = 0$

Linéarité

Linéarité de l’intégrale

Soient une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ et deux réels $a$ et $b$ appartenant à $I$ . Soit $λ$ un réel quelconque.

$\int_{a}^{b} f (x) + g (x) d x = \int_{b}^{a} f (x) d x + \int_{b}^{a} g (x) d x$
$\int_{a}^{b} λ f (x) d x = λ \int_{b}^{a} f (x) d x$

Relation de Chasles

Soient une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ et deux réels $a$ et $b$ appartenant à $I$ . Pour tout $c \in I$ , on a $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x$ .

Exemple

On veut calculer $I = \int_{- 2}^{4} f (x) d x$ où $f (x) = ∣ x ∣ = {- x si x < 0 x si x \geq 0$ .

1ère étape : On sépare l’intégrale à l’aide de la relation de Chasles :

$I = \int_{- 2}^{4} f (x) d x = \int_{- 2}^{0} - x d x + \int_{0}^{4} x d x$ .

2ème étape : On calcule l’intégrale :

$I = \int_{- 2}^{0} - x d x + \int_{0}^{4} x d x = [- \frac{x ^{2}}{2}]_{- 2}^{0} + [\frac{x ^{2}}{2}]_{0}^{4} = 0 - (- \frac{2 ^{2}}{2}) + ((\frac{4 ^{2}}{2}) - 0) = 10$ U.A.

Intégration par parties

Il peut arriver que vous ayez à intégrer un produit de fonctions. En classe de Terminale, il est possible de faire appel à une technique appelée intégration par parties pour en venir à bout.

Intégration par parties

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et soient $a$ et $b$ appartenant à $I$ . Alors : $\int_{a}^{b} u^{'} (x) v (x) d x = [u (x) v (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u (x) v^{'} (x) d x$

Démonstration

Intégration par parties

Comme $(u \times v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ , la fonction $u \times v$ est une primitive de la fonction $u^{'} v + u v^{'}$ sur $I$ . Or, par la relation de Chasles : $\int_{a}^{b} u^{'} (x) v (x) + u (x) v^{'} (x) d x = \int_{a}^{b} u^{'} (x) v (x) d x + \int_{a}^{b} u (x) v^{'} (x) d x$ Donc, avec ce que l’on a fait au tout début, on a bien : $\int_{a}^{b} u^{'} (x) v (x) d x + \int_{a}^{b} u (x) v^{'} (x) d x = [u (x) v (x)]_{a}^{b}$ C’est-à-dire : $\int_{a}^{b} u^{'} (x) v (x) d x = [u (x) v (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u (x) v^{'} (x) d x$

Exemple

En utilisant cette technique, calculons $I = \int_{0}^{1} x e^{x} d x$ . Nous souhaitons faire disparaître le $x$ , on va donc poser $u^{'} (x) = e^{x}$ et $v (x) = x$ (afin de dériver $x$ ).

Donc par la formule d’intégration par parties : $I = [= u e^{x} = v x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} = u e^{x} \times = v^{'} 1 d x = e - [e^{x}]_{0}^{1} = 1$ Il vous faudra un peu d’expérience pour savoir quelle fonction il faut dériver et quelle fonction il faut primitiver.

Intégrales de fonctions paires et impaires

Intégrale d’une fonction paire

Soit $f$ une fonction paire continue sur un intervalle $I$ (comme $x \mapsto x^{2}$ ). On a la relation suivante pour tout $a \in I$ ( $- a$ doit aussi être dans $I$ ) : $\int_{- a}^{a} f (x) d x = 2 \times \int_{0}^{a} f (x) d x = 2 \times \int_{- a}^{0} f (x) d x$

Exemple

Cette relation peut se retrouver visuellement, l’aire du côté gauche par rapport à $(O y)$ est égale à l’aire de l’autre côté de $(O y)$ , et les deux sont positives ; on peut donc les additionner pour retrouver l’aire totale :

Intégrale d’une fonction impaire

Soit $f$ une fonction impaire continue sur un intervalle $I$ (comme $x \mapsto x^{3}$ ). On a la relation suivante pour tout $a \in I$ ( $- a$ doit aussi être dans $I$ ) : $\int_{- a}^{a} f (x) d x = 0$

Exemple

De même, on peut retrouver cette relation visuellement, l’aire du côté gauche par rapport à $(O y)$ est négative et égale à l’aire de l’autre côté de $(O y)$ qui est positive, les deux s’annulent donc :

Intégrales de fonctions périodiques

Intégrale d’une fonction périodique

Soit $f$ une fonction périodique de période $T$ (comme $cos$ avec $T = 2 π$ ) continue sur chacune de ses périodes, on a la relation suivante pour tout $a \in R$ : $\int_{0}^{T} f (x) d x = \int_{a}^{a + T} f (x) d x$

Valeur moyenne d’une fonction

Valeur moyenne

Soient $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a; b]$ . La valeur moyenne $M$ de $f$ sur $[a; b]$ est donnée par : $M = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Aire entre deux courbes

Différence d’aires

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a; b]$ . Si on a $f \geq g$ sur cet intervalle, alors l’aire entre les deux courbes est donnée par : $\int_{a}^{b} f (x) - g (x) d x$

Primitive s’annulant en $a$

Existence d’une primitive s’annulant en un point

Soient une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ et un réel $a \in I$ . La primitive de $f$ sur $I$ qui vaut $0$ en $a$ (notée $F_{a}$ ) est donnée par : $F_{a} : x \mapsto \int_{a}^{x} f (t) d t$

Démonstration

Existence d’une primitive

Soit $F$ une autre primitive de $f$ . Alors on a pour tout $x \in I$ , $F_{a} (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t = F (x) - F (a)$ par le théorème fondamental de l’analyse.

Donc pour tout $x \in I$ , $F_{a}^{'} (x) = F^{'} (x) - 0 = f (x)$ , donc $F_{a}$ est bien une primitive de $f$ .

De plus, $F_{a} (a) = \int_{a}^{a} f (t) d t = 0$ .

Enfin, comme les primitives d’une fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante près, on a bien l’unicité de $F_{a}$ .

Chapitre VII – Calcul intégral

Aires et intégrales

Théorème fondamental de l’analyse

Théorème fondamental de l’analyse

Exemple

Autre exemple

Signe de l’intégrale

Relation signe de l’intégrale - signe de la fonction

Propriétés algébriques

Propriétés

Linéarité

Linéarité de l’intégrale

Relation de Chasles

Relation de Chasles

Exemple

Intégration par parties

Intégration par parties

Intégration par parties

Exemple

Intégrales de fonctions paires et impaires

Intégrale d’une fonction paire

Exemple

Intégrale d’une fonction impaire

Exemple

Intégrales de fonctions périodiques

Intégrale d’une fonction périodique

Valeur moyenne d’une fonction

Valeur moyenne

Aire entre deux courbes

Différence d’aires

Primitive s’annulant en $a$

Existence d’une primitive s’annulant en un point

Existence d’une primitive

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Calcul d’aire

Aires et intégrales

Théorème fondamental de l’analyse

Théorème fondamental de l’analyse

Exemple

Autre exemple

Signe de l’intégrale

Relation signe de l’intégrale - signe de la fonction

Propriétés de l’intégrale

Propriétés algébriques

Propriétés

Linéarité

Linéarité de l’intégrale

Relation de Chasles

Relation de Chasles

Exemple

Calculs d’intégrale

Intégration par parties

Intégration par parties

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Exemple

Intégrales de fonctions paires et impaires

Intégrale d’une fonction paire

Exemple

Intégrale d’une fonction impaire

Exemple

Intégrales de fonctions périodiques

Intégrale d’une fonction périodique

Valeur moyenne d’une fonction

Valeur moyenne

Aire entre deux courbes

Différence d’aires

Primitive s’annulant en a

Existence d’une primitive s’annulant en un point

Existence d’une primitive

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Primitive s’annulant en $a$