I – Calcul d'aire
1. Qu'est-ce qu'une intégrale ?
Dans un repère orthogonal
Soient
On dit que les réels
2. Théorème fondamental de l'analyse
Pour calculer l'intégrale d'une fonction, il faut d'abord trouver la primitive de celle-ci (voir le cours sur les primitives).
Théorème fondamental de l'analyse
Soient une fonction
Alors
Exemple
On veut calculer l'aire entre la courbe d'une fonction
1ère étape : On cherche une primitive de
2ème étape : On calcule l'intégrale.
On a
Autre exemple
On veut calculer l'aire entre la courbe d'une fonction
1ère étape : On cherche une primitive de
2ème étape : On calcule l'intégrale. On a
Ce résultat est logique car l'aire au-dessus de la courbe de la fonction
3. Signe de l'intégrale
De manière générale, le signe de l'intégrale d'une fonction sur un intervalle dépend du signe de cette fonction sur cet intervalle.
Relation signe de l'intégrale - signe de la fonction
Soient une fonction
- Si
sur , alors . - Si
sur , alors . - Si
change de signe sur , on ne connaît pas directement le signe de l'intégrale. Le signe dépend de la partie de l'aire qui est la plus grande. - Soit
une fonction définie sur avec sur , alors .
Ainsi, cette intégrale sera positive :
Et cette intégrale sera négative :
II – Propriétés de l'intégrale
1. Propriétés algébriques
Propriétés
Soient une fonction
2. Linéarité
Linéarité de l'intégrale
Soient une fonction
3. Relation de Chasles
Relation de Chasles
Soient une fonction
Pour tout
Exemple
On veut calculer
1ère étape : On sépare l'intégrale à l'aide de la relation de Chasles :
2ème étape : On calcule l'intégrale :
III – Calculs d'intégrale
1. Intégration par parties
Il peut arriver que vous ayez à intégrer un produit de fonctions. En classe de Terminale, il est possible de faire appel à une technique appelée intégration par parties pour en venir à bout.
Intégration par parties
Soient
Alors
Exemple
En utilisant cette technique, calculons
Donc par la formule d'intégration par parties :
Il vous faudra un peu de pratique pour savoir quelle fonction il faut dériver et quelle fonction il faut primitiver.
2. Intégrales de fonctions paires et impaires
Intégrale d'une fonction paire
Soit
On a la relation suivante pour tout
Exemple
Cette relation peut se retrouver visuellement, l'aire du côté gauche par rapport à
Intégrale d'une fonction impaire
Soit
On a la relation suivante pour tout
Exemple
De même, on peut retrouver cette relation visuellement, l'aire du côté gauche par rapport à
3. Intégrales de fonctions périodiques
Intégrale d'une fonction périodique
Soit
4. Valeur moyenne d'une fonction
Valeur moyenne
Soient
5. Aire entre deux courbes
Différence d'aires
Soient
6. Primitive s'annulant en
Existence d'une primitive s'annulant en un point
Soient une fonction