Théorème fondamental de l’analyse

Soient une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ et deux réels $a$ et $b$ appartenant à $I$. Alors : $${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\left[F(x)\right]}_a^b=F(b)-F(a)$$ où $F$ est une primitive de $f$ sur $I$.

Exemple

On veut calculer l’aire entre la courbe d’une fonction $f$ définie pour tout $x\in \mathbb{R}$ par $f(x)=2x+1$, et l’axe des abscisses sur l’intervalle $[1;4]$ :

1ère étape : On cherche une primitive de $f$. On trouve $F(x)=x^2+x=x(x+1)$.

2ème étape : On calcule l’intégrale. On a ${\int }_1^{4}2x+1\mathrm{d}x={\left[x(x+1)\right]}_1^4=4(4+1)-1(1+1)=20-2=18$ U.A.

Autre exemple

On veut calculer l’aire entre la courbe d’une fonction $f$ définie pour tout $x\in \mathbb{R}$ par $f(x)=x$, et l’axe des abscisses sur l’intervalle $[-2;2]$ :

1ère étape : On cherche une primitive de $f$. On trouve pour tout $x\in \mathbb{R}$, $F(x)=\frac{x^2}{2}$.

2ème étape : On calcule l’intégrale. On a ${\int }_{-2}^{2}x\mathrm{d}x={\left[\frac{x^2}{2}\right]}_{-2}^2=\frac{4}{2}-\frac{4}{2}=0$ U.A.

Ce résultat est logique car l’aire au-dessus de la courbe de la fonction $f$ sur $[-2;0]$ est égale à l’aire sous la courbe de $f$ sur $[0;2]$ (voir les propriétés sur les intégrales des fonctions impaires).

Relation signe de l’intégrale - signe de la fonction

Soient une fonction $f$ continue sur un intervalle $I=[a;b]$.

• Si $f>0$ sur $I$, alors ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x>0$.

• Si $f<0$ sur $I$, alors ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x<0$.

• Si $f$ change de signe sur $I$, on ne connaît pas directement le signe de l’intégrale. Le signe dépend de la partie de l’aire qui est la plus grande.

• Soit $g$ une fonction définie sur $I$ avec $f>g$ sur $I$, alors ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x>{\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$.

Propriétés

Soient une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ et deux réels $a$ et $b$ appartenant à $I$.

• ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=-{\int }_b^{a}f(x)\mathrm{d}x$

• ${\int }_a^{a}f(x)\mathrm{d}x=0$

Linéarité de l’intégrale

Soient une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ et deux réels $a$ et $b$ appartenant à $I$. Soit $\lambda$ un réel quelconque.

• ${\int }_a^{b}f(x)+g(x)\mathrm{d}x={\int }_b^{a}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_b^{a}g(x)\mathrm{d}x$

• ${\int }_a^b\lambda f(x)\mathrm{d}x=\lambda {\int }_b^{a}f(x)\mathrm{d}x$

Relation de Chasles

Soient une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ et deux réels $a$ et $b$ appartenant à $I$. Pour tout $c\in I$, on a ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_c^{b}f(x)\mathrm{d}x$.

Exemple

On veut calculer $I={\int }_{-2}^{4}f(x)\mathrm{d}x$ où $f(x)=|x|=\{\begin{array}{l}-x\text{ si }x<0\\ x\text{ si }x\ge 0\end{array}$.

1ère étape : On sépare l’intégrale à l’aide de la relation de Chasles :

$I={\int }_{-2}^{4}f(x)\mathrm{d}x={\int }_{-2}^0-x\mathrm{d}x+{\int }_0^{4}x\mathrm{d}x$.

2ème étape : On calcule l’intégrale :

$I={\int }_{-2}^0-x\mathrm{d}x+{\int }_0^{4}x\mathrm{d}x={\left[-\frac{x^2}{2}\right]}_{-2}^0+{\left[\frac{x^2}{2}\right]}_0^4=0-(-\frac{2^2}{2})+((\frac{4^2}{2})-0)=10$ U.A.

Intégration par parties

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et soient $a$ et $b$ appartenant à $I$. Alors : $${\int }_a^b{u}^{\prime }(x)v(x)\mathrm{d}x={\left[u(x)v(x)\right]}_a^b-{\int }_a^{b}u(x)v^{\prime }(x)\mathrm{d}x$$

Intégration par parties

Comme $(u\times v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, la fonction $u\times v$ est une primitive de la fonction $u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ sur $I$. Or, par la relation de Chasles : $${\int }_a^b{u}^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)\mathrm{d}x={\int }_a^b{u}^{\prime }(x)v(x)\mathrm{d}x+{\int }_a^{b}u(x)v^{\prime }(x)\mathrm{d}x$$ Donc, avec ce que l’on a fait au tout début, on a bien : $${\int }_a^b{u}^{\prime }(x)v(x)\mathrm{d}x+{\int }_a^{b}u(x)v^{\prime }(x)\mathrm{d}x={\left[u(x)v(x)\right]}_a^b$$ C’est-à-dire : $${\int }_a^b{u}^{\prime }(x)v(x)\mathrm{d}x={\left[u(x)v(x)\right]}_a^b-{\int }_a^{b}u(x)v^{\prime }(x)\mathrm{d}x$$

Exemple

En utilisant cette technique, calculons $I={\int }_0^{1}x{e}^x\mathrm{d}x$. Nous souhaitons faire disparaître le $x$, on va donc poser $u^{\prime }(x)=e^x$ et $v(x)=x$ (afin de dériver $x$).

Donc par la formule d’intégration par parties : $$I={\left[\underset{=u}{\underbrace{e^x}}\underset{=v}{\underbrace{x}}\right]}_0^1-{\int }_0^1\underset{=u}{\underbrace{e^x}}\times \underset{=v^{\prime }}{\underbrace{1}}\mathrm{d}x=e-{\left[e^x\right]}_0^1=1$$ Il vous faudra un peu d’expérience pour savoir quelle fonction il faut dériver et quelle fonction il faut primitiver.

Intégrale d’une fonction paire

Soit $f$ une fonction paire continue sur un intervalle $I$ (comme $x\mapsto x^2$). On a la relation suivante pour tout $a\in I$ ($-a$ doit aussi être dans $I$) : $${\int }_{-a}^{a}f(x)\mathrm{d}x=2\times {\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x=2\times {\int }_{-a}^{0}f(x)\mathrm{d}x$$

Exemple

Cette relation peut se retrouver visuellement, l’aire du côté gauche par rapport à $(Oy)$ est égale à l’aire de l’autre côté de $(Oy)$, et les deux sont positives ; on peut donc les additionner pour retrouver l’aire totale :

Intégrale d’une fonction impaire

Soit $f$ une fonction impaire continue sur un intervalle $I$ (comme $x\mapsto x^3$). On a la relation suivante pour tout $a\in I$ ($-a$ doit aussi être dans $I$) : $${\int }_{-a}^{a}f(x)\mathrm{d}x=0$$

Exemple

De même, on peut retrouver cette relation visuellement, l’aire du côté gauche par rapport à $(Oy)$ est négative et égale à l’aire de l’autre côté de $(Oy)$ qui est positive, les deux s’annulent donc :

Intégrale d’une fonction périodique

Soit $f$ une fonction périodique de période $T$ (comme $\cos$ avec $T=2\pi$) continue sur chacune de ses périodes, on a la relation suivante pour tout $a\in \mathbb{R}$ : $${\int }_0^{T}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{a+T}f(x)\mathrm{d}x$$

Valeur moyenne

Soient $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$. La valeur moyenne $M$ de $f$ sur $[a;b]$ est donnée par : $$M=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

Différence d’aires

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a;b]$. Si on a $f\ge g$ sur cet intervalle, alors l’aire entre les deux courbes est donnée par : $${\int }_a^{b}f(x)-g(x)\mathrm{d}x$$

Existence d’une primitive s’annulant en un point

Soient une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ et un réel $a\in I$. La primitive de $f$ sur $I$ qui vaut $0$ en $a$ (notée $F_a$) est donnée par : $$F_a:x\mapsto {\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$$

Existence d’une primitive

Soit $F$ une autre primitive de $f$. Alors on a pour tout $x\in I$, $F_a(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t=F(x)-F(a)$ par le théorème fondamental de l’analyse.

Donc pour tout $x\in I$, $F_a^{\prime }(x)=F^{\prime }(x)-0=f(x)$, donc $F_a$ est bien une primitive de $f$.

De plus, $F_a(a)={\int }_a^{a}f(t)\mathrm{d}t=0$.

Enfin, comme les primitives d’une fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante près, on a bien l’unicité de $F_a$.