L'intégration est une opération très utilisée en mathématiques et permet notamment de calculer l'aire sous la courbe d'une fonction sur un intervalle donné. Ici nous étudierons principalement les méthodes de calcul mais également les propriétés remarquables des intégrales. Attention cependant; il est fortement recommandé d'avoir une bonne connaissance du Chapitre VI sur les primitives de fonctions continues.
Dans un repère orthogonal (O;I;J), on prend un point A=(1;1) et on appelle Unité d’Aire (U.A.) l’aire du rectangle formé par les points O, I, A et J.
Soient a et b deux réels avec a≤b et f une fonction continue sur [a;b]. L’intégrale de la fonction f sur [a;b] notée
∫abf(x)dx
représente l’aire entre la courbe de f et l’axe des abscisses délimitée par les droites d’équation x=a et x=b
et est exprimée en U.A..
On dit que les réels a et b sont les bornes de l’intégrale.
Théorème fondamental de l’analyse
Pour calculer l’intégrale d’une fonction, il faut d’abord trouver la primitive de celle-ci (voir le cours sur les primitives).
Théorème fondamental de l’analyse
Soient une fonction f continue sur un intervalle I et deux réels a et b appartenant à I. Alors :
∫abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)
où F est une primitive de f sur I.
Exemple
On veut calculer l’aire entre la courbe d’une fonction f définie pour tout x∈R par f(x)=2x+1, et l’axe des abscisses sur l’intervalle [1;4] :
1ère étape : On cherche une primitive de f. On trouve F(x)=x2+x=x(x+1).
2ème étape : On calcule l’intégrale.
On a ∫142x+1dx=[x(x+1)]14=4(4+1)−1(1+1)=20−2=18 U.A.
Autre exemple
On veut calculer l’aire entre la courbe d’une fonction f définie pour tout x∈R par f(x)=x, et l’axe des abscisses sur l’intervalle [−2;2] :
1ère étape : On cherche une primitive de f. On trouve pour tout x∈R, F(x)=2x2.
2ème étape : On calcule l’intégrale. On a ∫−22xdx=[2x2]−22=24−24=0 U.A.
Il peut arriver que vous ayez à intégrer un produit de fonctions. En classe de Terminale, il est possible de faire appel à une technique appelée intégration par parties pour en venir à bout.
Intégration par parties
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et soient a et b appartenant à I. Alors :
∫abu′(x)v(x)dx=[u(x)v(x)]ab−∫abu(x)v′(x)dx
Démonstration
Intégration par parties
Comme (u×v)′=u′v+uv′, la fonction u×v est une primitive de la fonction u′v+uv′ sur I. Or, par la relation de Chasles :
∫abu′(x)v(x)+u(x)v′(x)dx=∫abu′(x)v(x)dx+∫abu(x)v′(x)dx
Donc, avec ce que l’on a fait au tout début, on a bien :
∫abu′(x)v(x)dx+∫abu(x)v′(x)dx=[u(x)v(x)]ab
C’est-à-dire :
∫abu′(x)v(x)dx=[u(x)v(x)]ab−∫abu(x)v′(x)dx
Exemple
En utilisant cette technique, calculons I=∫01xexdx. Nous souhaitons faire disparaître le x, on va donc poser u′(x)=ex et v(x)=x (afin de dériver x).
Donc par la formule d’intégration par parties :
I=[=uex=vx]01−∫01=uex×=v′1dx=e−[ex]01=1
Il vous faudra un peu d’expérience pour savoir quelle fonction il faut dériver et quelle fonction il faut primitiver.
Intégrales de fonctions paires et impaires
Intégrale d’une fonction paire
Soit f une fonction paire continue sur un intervalle I (comme x↦x2). On a la relation suivante pour tout a∈I (−a doit aussi être dans I) :
∫−aaf(x)dx=2×∫0af(x)dx=2×∫−a0f(x)dx
Exemple
Cette relation peut se retrouver visuellement, l’aire du côté gauche par rapport à (Oy) est égale à l’aire de l’autre côté de (Oy), et les deux sont positives ; on peut donc les additionner pour retrouver l’aire totale :
Intégrale d’une fonction impaire
Soit f une fonction impaire continue sur un intervalle I (comme x↦x3). On a la relation suivante pour tout a∈I (−a doit aussi être dans I) :
∫−aaf(x)dx=0
Exemple
De même, on peut retrouver cette relation visuellement, l’aire du côté gauche par rapport à (Oy) est négative et égale à l’aire de l’autre côté de (Oy) qui est positive, les deux s’annulent donc :
Intégrales de fonctions périodiques
Intégrale d’une fonction périodique
Soit f une fonction périodique de période T (comme cos avec T=2π) continue sur chacune de ses périodes, on a la relation suivante pour tout a∈R :
∫0Tf(x)dx=∫aa+Tf(x)dx
Valeur moyenne d’une fonction
Valeur moyenne
Soient f une fonction continue sur un intervalle [a;b]. La valeur moyenne M de f sur [a;b] est donnée par :
M=b−a1∫abf(x)dx
Aire entre deux courbes
Différence d’aires
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a;b]. Si on a f≥g sur cet intervalle, alors l’aire entre les deux courbes est donnée par :
∫abf(x)−g(x)dx
Primitive s’annulant en a
Existence d’une primitive s’annulant en un point
Soient une fonction f continue sur un intervalle I et un réel a∈I. La primitive de f sur I qui vaut 0 en a (notée Fa) est donnée par :
Fa:x↦∫axf(t)dt
Démonstration
Existence d’une primitive
Soit F une autre primitive de f. Alors on a pour tout x∈I, Fa(x)=∫axf(t)dt=F(x)−F(a) par le théorème fondamental de l’analyse.
Donc pour tout x∈I, Fa′(x)=F′(x)−0=f(x), donc Fa est bien une primitive de f.
De plus, Fa(a)=∫aaf(t)dt=0.
Enfin, comme les primitives d’une fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante près, on a bien l’unicité de Fa.
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