Calcul d'aire

Qu'est-ce qu'une intégrale ?

Dans un repère orthogonal $(O; I; J)$, on prend un point $A = (1; 1)$ et on appelle Unité d'Aire (U.A.) l'aire du rectangle formé par les points $O$, $I$, $A$ et $J$.

Soient $a$ et $b$ deux réels avec $a \leq b$ et $f$ une fonction continue sur $[a;b]$. L'intégrale de la fonction $f$ sur $[a;b]$ notée $\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x}$ représente l'aire entre la courbe de $f$ et l'axe des abscisses délimitée par les droites d'équation $x = a$ et $x = b$ et est exprimée en U.A..

On dit que les réels $a$ et $b$ sont les bornes de l'intégrale.

Théorème fondamental de l'analyse

Pour calculer l'intégrale d'une fonction, il faut d'abord trouver la primitive de celle-ci (voir le cours sur les primitives).

Soient une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ et deux réels $a$ et $b$ appartenants à $I$.

Alors $\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = \left[ F(x) \right]_a^b = F(b) - F(a)}$ où $F$ est une primitive de $f$ sur $I$.

On veut calculer l'aire entre la courbe d'une fonction $f$ définie pour tout $x \in \mathbb{R}$ par $f(x) = 2x + 1$, et l'axe des abscisses sur l'intervalle $[1;4]$ :

1^ère étape : On cherche une primitive de $f$. On trouve $F(x) = x^2 + x = x(x + 1)$.

2^ème étape : On calcule l'intégrale.

On a $\displaystyle{\int_{1}^{4} 2x + 1 \, \mathrm{d}x} = \left[ x(x + 1) \right]_1^4 = 4(4 + 1) - 1(1 + 1) = 20 - 2 = 18$ U.A.

On veut calculer l'aire entre la courbe d'une fonction $f$ définie pour tout $x \in \mathbb{R}$ par $f(x) = x$, et l'axe des abscisses sur l'intervalle $[-2;2]$ :

1^ère étape : On cherche une primitive de $f$. On trouve pour tout $x \in \mathbb{R}$, $F(x) = \frac{x^2}{2}$.

2^ème étape : On calcule l'intégrale. On a $\displaystyle{\int_{-2}^{2} x \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-2}^2 = \frac{4}{2} - \frac{4}{2} = 0}$ U.A.

Ce résultat est logique car l'aire au dessus de la courbe de la fonction $f$ sur $[-2;0]$ est égale à l'aire sous la courbe de $f$ sur $[0;2]$ (voir les propriétés sur les intégrales des fonctions impaires).

Signe de l'intégrale

De manière générale, le signe de l'intégrale d'une fonction sur un intervalle dépend du signe de cette fonction sur cet intervalle.

Soient une fonction $f$ continue sur un intervalle $I = [a; b]$.

• Si $f \gt 0$ sur $I$, alors $\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x \gt 0}$.
• Si $f \lt 0$ sur $I$, alors $\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x \lt 0}$.
• Si $f$ change de signe sur $I$, on ne connaît pas directement le signe de l'intégrale. Le signe dépend de la partie de l'aire qui est la plus grande.
• Soit $g$ une fonction définie sur $I$ avec $f \gt g$ sur $I$, alors $\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x \gt \int_{a}^{b} g(x) \, \mathrm{d}x}$.

Ainsi, cette intégrale sera positive :

Et cette intégrale sera négative :

Propriétés de l'intégrale

Propriétés algébriques

Soient une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ et deux réels $a$ et $b$ appartenants à $I$.

• $\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = - \int_{b}^{a} f(x) \, \mathrm{d}x}$
• $\displaystyle{\int_{a}^{a} f(x) \, \mathrm{d}x = 0}$

Linéarité

Soient une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ et deux réels $a$ et $b$ appartenants à $I$. Soit $\lambda$ un réel quelconque.

• $\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) + g(x) \, \mathrm{d}x = \int_{b}^{a} f(x) \, \mathrm{d}x + \int_{b}^{a} g(x) \, \mathrm{d}x}$
• $\displaystyle{\int_{a}^{b} \lambda f(x) \, \mathrm{d}x = \lambda \int_{b}^{a} f(x) \, \mathrm{d}x}$

Relation de Chasles

Soient une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ et deux réels $a$ et $b$ appartenants à $I$.

Pour tout $c \in I$, on a $\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = \int_{a}^{c} f(x) \, \mathrm{d}x + \int_{c}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x}$.

On veut calculer $I = \displaystyle{\int_{-2}^4 f(x) \, \mathrm{d}x}$ où $f(x) = |x| = \begin{cases} -x \text{ si } x \lt 0 \\ x \text{ si } x \geq 0 \end{cases}$.

1^ère étape : On sépare l'intégrale à l'aide de la relation de Chasles :

$\displaystyle{I = \int_{-2}^{4} f(x) \, \mathrm{d}x = \int_{-2}^{0} -x \, \mathrm{d}x + \int_{0}^{4} x \, \mathrm{d}x}$.

2^ème étape : On calcule l'intégrale :

$\displaystyle{I = \int_{-2}^{0} -x \, \mathrm{d}x + \int_{0}^{4} x \, \mathrm{d}x = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-2}^0 + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^4 = 0 - (-\frac{2^2}{2}) + ((\frac{4^2}{2}) - 0) = 10}$ U.A.

Calculs d'intégrale

Intégration par parties

Il peut arriver que vous ayez à intégrer un produit de fonctions. En classe de Terminale, il est possible de faire appel à une technique appelée intégration par parties pour en venir à bout.

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et soient $a$ et $b$ appartenants à $I$.

Alors $\displaystyle{\int_a^b u'(x) v(x) \, \mathrm{d}x = \left[u(x) v(x)\right]_a^b - \int_a^b u(x) v'(x) \, \mathrm{d}x}$.

Comme $(u \times v)' = u'v + uv'$, on a que la fonction $u \times v$ est une primitive de la fonction $u'v + uv'$ sur $I$. Or, par la relation de Chasles :

$\displaystyle{\int_a^b u'(x) v(x) + u(x) v'(x) \, \mathrm{d}x = \int_a^b u'(x) v(x) \, \mathrm{d}x + \int_a^b u(x) v'(x) \, \mathrm{d}x}$

Donc, avec ce que l'on a fait au tout début, on a bien :

$\displaystyle{\int_a^b u'(x) v(x) \, \mathrm{d}x + \int_a^b u(x) v'(x) \, \mathrm{d}x = \left[u(x) v(x)\right]_a^b}$

C'est-à-dire :

$\displaystyle{\int_a^b u'(x) v(x) \, \mathrm{d}x = \left[u(x) v(x)\right]_a^b - \int_a^b u(x) v'(x) \, \mathrm{d}x}$

En utilisant cette technique, calculons $\displaystyle{I = \int_{0}^1 xe^x \, \mathrm{d}x}$. Nous souhaitons faire disparaître le $x$, on va donc poser $u'(x) = e^x$ et $v(x) = x$ (afin de dériver $x$).

Donc par la formule d'intégration par parties :

$\displaystyle{I = \left[\underbrace{e^x}_{= u} \underbrace{x}_{= v}\right]_0^1 - \int_{0}^1 \underbrace{e^x}_{= u} \times \underbrace{1}_{= v'} \, \mathrm{d}x = e - \left[ e^x \right]_0^1 = 1}$.

Il vous faudra un peu de pratique pour savoir quelle fonction il faut dériver et quelle fonction il faut primitiver.

Intégrales de fonctions paires et impaires

Soit $f$ une fonction paire continue sur un intervalle $I$ (comme $x \mapsto x^2$).

On a la relation suivante pour tout $a \in I$ ($-a$ doit aussi être dans $I$) :

$\displaystyle{\int_{-a}^{a} f(x) \, \mathrm{d}x = 2 \times \int_{0}^{a} f(x) \, \mathrm{d}x = 2 \times \int_{-a}^{0} f(x) \, \mathrm{d}x}$.

Cette relation peut se retrouver visuellement, l'aire du côté gauche par rapport à $(Oy)$ est égale à l'aire de l'autre côté de $(Oy)$, et les deux sont positives; on peut donc les additionner pour retrouver l'aire totale :

Soit $f$ une fonction impaire continue sur un intervalle $I$ (comme $x \mapsto x^3$).

On a la relation suivante pour tout $a \in I$ ($-a$ doit aussi être dans $I$) :

$\displaystyle{\int_{-a}^{a} f(x) \, \mathrm{d}x = 0}$.

De même, on peut retrouver cette relation visuellement, l'aire du côté gauche par rapport à $(Oy)$ est négative et égale à l'aire de l'autre côté de $(Oy)$ qui est positive, les deux s'annulent donc :

Intégrales de fonctions périodiques

Soit $f$ une fonction périodique de période $T$ (comme $\cos$ avec $T = 2\pi$) continue sur chacune de ses périodes, on a la relation suivante pour tout $a \in \mathbb{R}$ :

$\displaystyle{\int_{0}^{T} f(x) \, \mathrm{d}x = \int_{a}^{a + T} f(x) \, \mathrm{d}x}$

Valeur moyenne d'une fonction

Soient $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$. La valeur moyenne $M$ de $f$ sur $[a;b]$ est donnée par $\displaystyle{M = \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x}$.

Aire entre deux courbes

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a;b]$. Si on a $f \geq g$ sur cet intervalle, alors l'aire entre les deux courbes est donnée par $\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) - g(x) \, \mathrm{d}x}$.

Primitive s'annulant en $a$

Soient une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ et un réel $a \in I$. La primitive de $f$ sur $I$ qui vaut $0$ en $a$ (notée $F_a$) est donnée par $\displaystyle{F_a : x \mapsto \int_{a}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t}$.

Soit $F$ une autre primitive de $f$. Alors on a pour tout $x \in I$, $\displaystyle{F_a(x) = \int_a^x f(t) \, \mathrm{d}t} = F(x) - F(a)$ par le théorème fondamental de l'analyse.

Donc pour tout $x \in I$, $F_a'(x) = F'(x) - 0 = f(x)$, donc on a bien que $F_a$ est une primitive de $f$.

De plus, $\displaystyle{F_a(a) = \int_{a}^{a} f(t) \, \mathrm{d}t = 0}$.

Enfin, comme les primitives d'une fonction continue sur un intervalle diffèrent d'une constante près, on a bien l'unicité de $F_a$.