I – Calcul d'aire

1. Qu'est-ce qu'une intégrale ?

Dans un repère orthogonal , on prend un point et on appelle Unité d'Aire (U.A.) l'aire du rectangle formé par les points , , et .

Soient et deux réels avec et une fonction continue sur . L'intégrale de la fonction sur notée représente l'aire entre la courbe de et l'axe des abscisses délimitée par les droites d'équation et et est exprimée en U.A..

On dit que les réels et sont les bornes de l'intégrale.

2. Théorème fondamental de l'analyse

Pour calculer l'intégrale d'une fonction, il faut d'abord trouver la primitive de celle-ci (voir le cours sur les primitives).

Théorème fondamental de l'analyse

Soient une fonction continue sur un intervalle et deux réels et appartenant à .

Alors est une primitive de sur .

Exemple

On veut calculer l'aire entre la courbe d'une fonction définie pour tout par , et l'axe des abscisses sur l'intervalle :

1ère étape : On cherche une primitive de . On trouve .

2ème étape : On calcule l'intégrale.

On a U.A.

Autre exemple

On veut calculer l'aire entre la courbe d'une fonction définie pour tout par , et l'axe des abscisses sur l'intervalle :

1ère étape : On cherche une primitive de . On trouve pour tout , .

2ème étape : On calcule l'intégrale. On a U.A.

Ce résultat est logique car l'aire au-dessus de la courbe de la fonction sur est égale à l'aire sous la courbe de sur ( voir les propriétés sur les intégrales des fonctions impaires).

3. Signe de l'intégrale

De manière générale, le signe de l'intégrale d'une fonction sur un intervalle dépend du signe de cette fonction sur cet intervalle.

Relation signe de l'intégrale - signe de la fonction

Soient une fonction continue sur un intervalle .

  • Si sur , alors .
  • Si sur , alors .
  • Si change de signe sur , on ne connaît pas directement le signe de l'intégrale. Le signe dépend de la partie de l'aire qui est la plus grande.
  • Soit une fonction définie sur avec sur , alors .

Ainsi, cette intégrale sera positive :

Et cette intégrale sera négative :

II – Propriétés de l'intégrale

1. Propriétés algébriques

Propriétés

Soient une fonction continue sur un intervalle et deux réels et appartenant à .

2. Linéarité

Linéarité de l'intégrale

Soient une fonction continue sur un intervalle et deux réels et appartenant à . Soit un réel quelconque.

3. Relation de Chasles

Relation de Chasles

Soient une fonction continue sur un intervalle et deux réels et appartenant à .

Pour tout , on a .

Exemple

On veut calculer .

1ère étape : On sépare l'intégrale à l'aide de la relation de Chasles :

.

2ème étape : On calcule l'intégrale :

U.A.

III – Calculs d'intégrale

1. Intégration par parties

Il peut arriver que vous ayez à intégrer un produit de fonctions. En classe de Terminale, il est possible de faire appel à une technique appelée intégration par parties pour en venir à bout.

Intégration par parties

Soient et deux fonctions dérivables sur un intervalle et soient et appartenant à .

Alors .

Démonstration

Exemple

En utilisant cette technique, calculons . Nous souhaitons faire disparaître le , on va donc poser et (afin de dériver ).

Donc par la formule d'intégration par parties :

.

Il vous faudra un peu de pratique pour savoir quelle fonction il faut dériver et quelle fonction il faut primitiver.

2. Intégrales de fonctions paires et impaires

Intégrale d'une fonction paire

Soit une fonction paire continue sur un intervalle (comme ).

On a la relation suivante pour tout ( doit aussi être dans ) :

.

Exemple

Cette relation peut se retrouver visuellement, l'aire du côté gauche par rapport à est égale à l'aire de l'autre côté de , et les deux sont positives ; on peut donc les additionner pour retrouver l'aire totale :

Intégrale d'une fonction impaire

Soit une fonction impaire continue sur un intervalle (comme ).

On a la relation suivante pour tout ( doit aussi être dans ) :

.

Exemple

De même, on peut retrouver cette relation visuellement, l'aire du côté gauche par rapport à est négative et égale à l'aire de l'autre côté de qui est positive, les deux s'annulent donc :

3. Intégrales de fonctions périodiques

Intégrale d'une fonction périodique

Soit une fonction périodique de période (comme avec ) continue sur chacune de ses périodes, on a la relation suivante pour tout :

4. Valeur moyenne d'une fonction

Valeur moyenne

Soient une fonction continue sur un intervalle . La valeur moyenne de sur est donnée par .

5. Aire entre deux courbes

Différence d'aires

Soient et deux fonctions continues sur un intervalle . Si on a sur cet intervalle, alors l'aire entre les deux courbes est donnée par .

6. Primitive s'annulant en

Existence d'une primitive s'annulant en un point

Soient une fonction continue sur un intervalle et un réel . La primitive de sur qui vaut en (notée ) est donnée par .

Démonstration

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