Calcul d’aire

Aires et intégrales

Dans un repère orthogonal (O;I;J)(O; I; J), on prend un point A=(1;1)A = (1; 1) et on appelle Unité d’Aire (U.A.) l’aire du rectangle formé par les points OO, II, AA et JJ.

Soient aa et bb deux réels avec aba \leq b et ff une fonction continue sur [a;b][a;b]. L’intégrale de la fonction ff sur [a;b][a;b] notée abf(x)dx\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x} représente l’aire entre la courbe de ff et l’axe des abscisses délimitée par les droites d’équation x=ax = a et x=bx = b et est exprimée en U.A..

On dit que les réels aa et bb sont les bornes de l’intégrale.

Théorème fondamental de l’analyse

Pour calculer l’intégrale d’une fonction, il faut d’abord trouver la primitive de celle-ci (voir le cours sur les primitives).

Théorème fondamental de l’analyse

Soient une fonction ff continue sur un intervalle II et deux réels aa et bb appartenant à II.

Alors abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)F(a)\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = \left[ F(x) \right]_a^b = F(b) - F(a)}FF est une primitive de ff sur II.

Exemple

On veut calculer l’aire entre la courbe d’une fonction ff définie pour tout xRx \in \mathbb{R} par f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1, et l’axe des abscisses sur l’intervalle [1;4][1;4] :

1ère étape : On cherche une primitive de ff. On trouve F(x)=x2+x=x(x+1)F(x) = x^2 + x = x(x + 1).

2ème étape : On calcule l’intégrale. On a 142x+1dx=[x(x+1)]14=4(4+1)1(1+1)=202=18\displaystyle{\int_{1}^{4} 2x + 1 \, \mathrm{d}x} = \left[ x(x + 1) \right]_1^4 = 4(4 + 1) - 1(1 + 1) = 20 - 2 = 18 U.A.

Autre exemple

On veut calculer l’aire entre la courbe d’une fonction ff définie pour tout xRx \in \mathbb{R} par f(x)=xf(x) = x, et l’axe des abscisses sur l’intervalle [2;2][-2;2] :

1ère étape : On cherche une primitive de ff. On trouve pour tout xRx \in \mathbb{R}, F(x)=x22F(x) = \frac{x^2}{2}.

2ème étape : On calcule l’intégrale. On a 22xdx=[x22]22=4242=0\displaystyle{\int_{-2}^{2} x \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-2}^2 = \frac{4}{2} - \frac{4}{2} = 0} U.A.

Ce résultat est logique car l’aire au-dessus de la courbe de la fonction ff sur [2;0][-2;0] est égale à l’aire sous la courbe de ff sur [0;2][0;2] (voir les propriétés sur les intégrales des fonctions impaires).

Signe de l’intégrale

De manière générale, le signe de l’intégrale d’une fonction sur un intervalle dépend du signe de cette fonction sur cet intervalle.

Relation signe de l’intégrale - signe de la fonction

Soient une fonction ff continue sur un intervalle I=[a;b]I = [a; b].

  • Si f>0f > 0 sur II, alors abf(x)dx>0\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x > 0}.

  • Si f<0f < 0 sur II, alors abf(x)dx<0\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x < 0}.

  • Si ff change de signe sur II, on ne connaît pas directement le signe de l’intégrale. Le signe dépend de la partie de l’aire qui est la plus grande.

  • Soit gg une fonction définie sur II avec f>gf > g sur II, alors abf(x)dx>abg(x)dx\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x > \int_{a}^{b} g(x) \, \mathrm{d}x}.

Ainsi, cette intégrale sera positive :

Et cette intégrale sera négative :

Propriétés de l’intégrale

Propriétés algébriques

Propriétés

Soient une fonction ff continue sur un intervalle II et deux réels aa et bb appartenant à II.

  • abf(x)dx=baf(x)dx\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = - \int_{b}^{a} f(x) \, \mathrm{d}x}

  • aaf(x)dx=0\displaystyle{\int_{a}^{a} f(x) \, \mathrm{d}x = 0}

Linéarité

Linéarité de l’intégrale

Soient une fonction ff continue sur un intervalle II et deux réels aa et bb appartenant à II. Soit λ\lambda un réel quelconque.

  • abf(x)+g(x)dx=baf(x)dx+bag(x)dx\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) + g(x) \, \mathrm{d}x = \int_{b}^{a} f(x) \, \mathrm{d}x + \int_{b}^{a} g(x) \, \mathrm{d}x}

  • abλf(x)dx=λbaf(x)dx\displaystyle{\int_{a}^{b} \lambda f(x) \, \mathrm{d}x = \lambda \int_{b}^{a} f(x) \, \mathrm{d}x}

Relation de Chasles

Relation de Chasles

Soient une fonction ff continue sur un intervalle II et deux réels aa et bb appartenant à II. Pour tout cIc \in I, on a abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = \int_{a}^{c} f(x) \, \mathrm{d}x + \int_{c}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x}.

Exemple

On veut calculer I=24f(x)dxI = \displaystyle{\int_{-2}^4 f(x) \, \mathrm{d}x}f(x)=x={x si x<0x si x0f(x) = |x| = \begin{cases} -x \text{ si } x < 0 \\ x \text{ si } x \geq 0 \end{cases}.

1ère étape : On sépare l’intégrale à l’aide de la relation de Chasles :

I=24f(x)dx=20xdx+04xdx\displaystyle{I = \int_{-2}^{4} f(x) \, \mathrm{d}x = \int_{-2}^{0} -x \, \mathrm{d}x + \int_{0}^{4} x \, \mathrm{d}x}.

2ème étape : On calcule l’intégrale :

I=20xdx+04xdx=[x22]20+[x22]04=0(222)+((422)0)=10\displaystyle{I = \int_{-2}^{0} -x \, \mathrm{d}x + \int_{0}^{4} x \, \mathrm{d}x = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-2}^0 + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^4 = 0 - (-\frac{2^2}{2}) + ((\frac{4^2}{2}) - 0) = 10} U.A.

Calculs d’intégrale

Intégration par parties

Il peut arriver que vous ayez à intégrer un produit de fonctions. En classe de Terminale, il est possible de faire appel à une technique appelée intégration par parties pour en venir à bout.

Intégration par parties

Soient uu et vv deux fonctions dérivables sur un intervalle II et soient aa et bb appartenant à II.

Alors abu(x)v(x)dx=[u(x)v(x)]ababu(x)v(x)dx\displaystyle{\int_a^b u'(x) v(x) \, \mathrm{d}x = \left[u(x) v(x)\right]_a^b - \int_a^b u(x) v'(x) \, \mathrm{d}x}.

Démonstration

Exemple

En utilisant cette technique, calculons I=01xexdx\displaystyle{I = \int_{0}^1 xe^x \, \mathrm{d}x}. Nous souhaitons faire disparaître le xx, on va donc poser u(x)=exu'(x) = e^x et v(x)=xv(x) = x (afin de dériver xx).

Donc par la formule d’intégration par parties :

I=[ex=ux=v]0101ex=u×1=vdx=e[ex]01=1\displaystyle{I = \left[\underbrace{e^x}_{= u} \underbrace{x}_{= v}\right]_0^1 - \int_{0}^1 \underbrace{e^x}_{= u} \times \underbrace{1}_{= v'} \, \mathrm{d}x = e - \left[ e^x \right]_0^1 = 1}.

Il vous faudra un peu de pratique pour savoir quelle fonction il faut dériver et quelle fonction il faut primitiver.

Intégrales de fonctions paires et impaires

Intégrale d’une fonction paire

Soit ff une fonction paire continue sur un intervalle II (comme xx2x \mapsto x^2).

On a la relation suivante pour tout aIa \in I (a-a doit aussi être dans II) :

aaf(x)dx=2×0af(x)dx=2×a0f(x)dx\displaystyle{\int_{-a}^{a} f(x) \, \mathrm{d}x = 2 \times \int_{0}^{a} f(x) \, \mathrm{d}x = 2 \times \int_{-a}^{0} f(x) \, \mathrm{d}x}.

Exemple

Cette relation peut se retrouver visuellement, l’aire du côté gauche par rapport à (Oy)(Oy) est égale à l’aire de l’autre côté de (Oy)(Oy), et les deux sont positives ; on peut donc les additionner pour retrouver l’aire totale :

Intégrale d’une fonction impaire

Soit ff une fonction impaire continue sur un intervalle II (comme xx3x \mapsto x^3).

On a la relation suivante pour tout aIa \in I (a-a doit aussi être dans II) :

aaf(x)dx=0\displaystyle{\int_{-a}^{a} f(x) \, \mathrm{d}x = 0}.

Exemple

De même, on peut retrouver cette relation visuellement, l’aire du côté gauche par rapport à (Oy)(Oy) est négative et égale à l’aire de l’autre côté de (Oy)(Oy) qui est positive, les deux s’annulent donc :

Intégrales de fonctions périodiques

Intégrale d’une fonction périodique

Soit ff une fonction périodique de période TT (comme cos\cos avec T=2πT = 2\pi) continue sur chacune de ses périodes, on a la relation suivante pour tout aRa \in \mathbb{R} :

0Tf(x)dx=aa+Tf(x)dx\displaystyle{\int_{0}^{T} f(x) \, \mathrm{d}x = \int_{a}^{a + T} f(x) \, \mathrm{d}x}

Valeur moyenne d’une fonction

Valeur moyenne

Soient ff une fonction continue sur un intervalle [a;b][a;b]. La valeur moyenne MM de ff sur [a;b][a;b] est donnée par M=1baabf(x)dx\displaystyle{M = \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x}.

Aire entre deux courbes

Différence d’aires

Soient ff et gg deux fonctions continues sur un intervalle [a;b][a;b]. Si on a fgf \geq g sur cet intervalle, alors l’aire entre les deux courbes est donnée par abf(x)g(x)dx\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) - g(x) \, \mathrm{d}x}.

Primitive s’annulant en aa

Existence d’une primitive s’annulant en un point

Soient une fonction ff continue sur un intervalle II et un réel aIa \in I. La primitive de ff sur II qui vaut 00 en aa (notée FaF_a) est donnée par Fa:xaxf(t)dt\displaystyle{F_a : x \mapsto \int_{a}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t}.

Démonstration

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