Calcul d'aire

Qu'est-ce qu'une intégrale ?

Dans un repère orthogonal $(O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j})$, on prend un point $A = (1; 1)$ et on appelle Unité d'Aire (U.A.) l'aire du rectangle formé par les points $O$, $I$, $A$ et $J$.

Soient $a$ et $b$ deux réels avec $a \leq b$ et $f$ une fonction continue sur $[a;b]$. L'intégrale de la fonction $f$ sur $[a;b]$ notée $\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x}$ représente l'aire entre la courbe de $f$ et l'axe des abscisses délimitée par les droites d'équation $x = a$ et $x = b$ et est exprimée en U.A..

On dit que les réels $a$ et $b$ sont les bornes de l'intégrale.

Théorème fondamental de l'analyse

Pour calculer l'intégrale d'une fonction, il faut d'abord trouver la primitive de celle-ci (voir le cours sur les primitives).

Soient une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ et deux réels $a$ et $b$ appartenants à $I$.

Alors $\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = \left[ F(x) \right]_a^b = F(b) - F(a)}$ où $F$ est une primitive de $f$ sur $I$.

Signe de l'intégrale

De manière générale, le signe de l'intégrale d'une fonction sur un intervalle dépend du signe de cette fonction sur cet intervalle.

Soient une fonction $f$ continue sur un intervalle $I = [a; b]$.

• Si $f \gt 0$ sur $I$, alors $\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x \gt 0}$.
• Si $f \lt 0$ sur $I$, alors $\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x \lt 0}$.
• Si $f$ change de signe sur $I$, on ne connaît pas directement le signe de l'intégrale. Le signe dépend de la partie de l'aire qui est la plus grande.
• Soit $g$ une fonction définie sur $I$ avec $f \gt g$ sur $I$, alors $\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x \gt \int_{a}^{b} g(x) \, \mathrm{d}x}$.

Propriétés de l'intégrale

Propriétés algébriques

Soient une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ et deux réels $a$ et $b$ appartenants à $I$.

• $\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = - \int_{b}^{a} f(x) \, \mathrm{d}x}$
• $\displaystyle{\int_{a}^{a} f(x) \, \mathrm{d}x = 0}$

Linéarité

Soient une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ et deux réels $a$ et $b$ appartenants à $I$. Soit $\lambda$ un réel quelconque.

• $\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) + g(x) \, \mathrm{d}x = \int_{b}^{a} f(x) \, \mathrm{d}x + \int_{b}^{a} g(x) \, \mathrm{d}x}$
• $\displaystyle{\int_{a}^{b} \lambda f(x) \, \mathrm{d}x = \lambda \int_{b}^{a} f(x) \, \mathrm{d}x}$

Relation de Chasles

Soient une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ et deux réels $a$ et $b$ appartenants à $I$.

Pour tout $c \in I$, on a $\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = \int_{a}^{c} f(x) \, \mathrm{d}x + \int_{c}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x}$.

Calculs d'intégrale

Intégration par parties

Il peut arriver que vous ayez à intégrer un produit de fonctions. En classe de Terminale, il est possible de faire appel à une technique appelée intégration par parties pour en venir à bout.

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et soient $a$ et $b$ appartenants à $I$.

Alors $\displaystyle{\int_a^b u'(x) v(x) \, \mathrm{d}x = \left[u(x) v(x)\right]_a^b - \int_a^b u(x) v'(x) \, \mathrm{d}x}$.

Intégrales de fonctions paires et impaires

Soit $f$ une fonction paire continue sur un intervalle $I$ (comme $x \mapsto x^2$).

On a la relation suivante pour tout $a \in I$ ($-a$ doit aussi être dans $I$) :

$\displaystyle{\int_{-a}^{a} f(x) \, \mathrm{d}x = 2 \times \int_{0}^{a} f(x) \, \mathrm{d}x = 2 \times \int_{-a}^{0} f(x) \, \mathrm{d}x}$.

Soit $f$ une fonction impaire continue sur un intervalle $I$ (comme $x \mapsto x^3$).

On a la relation suivante pour tout $a \in I$ ($-a$ doit aussi être dans $I$) :

$\displaystyle{\int_{-a}^{a} f(x) \, \mathrm{d}x = 0}$.

Intégrales de fonctions périodiques

Soit $f$ une fonction périodique de période $T$ (comme $\cos$ avec $T = 2\pi$) continue sur chacune de ses périodes, on a la relation suivante pour tout $a \in \mathbb{R}$ :

$\displaystyle{\int_{0}^{T} f(x) \, \mathrm{d}x = \int_{a}^{a + T} f(x) \, \mathrm{d}x}$

Valeur moyenne d'une fonction

Soient $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$. La valeur moyenne $M$ de $f$ sur $[a;b]$ est donnée par $\displaystyle{M = \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x}$.

Aire entre deux courbes

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a;b]$. Si on a $f \geq g$ sur cet intervalle, alors l'aire entre les deux courbes est donnée par $\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) - g(x) \, \mathrm{d}x}$.

Primitive s'annulant en $a$

Soient une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ et un réel $a \in I$. La primitive de $f$ sur $I$ qui vaut $0$ en $a$ (notée $F_a$) est donnée par $\displaystyle{F_a : x \mapsto \int_{a}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t}$.