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Aires et intégrales

Dans un repère orthogonal $(O; I; J)$ , on prend un point $A = (1; 1)$ et on appelle Unité d’Aire (U.A.) l’aire du rectangle formé par les points $O$ , $I$ , $A$ et $J$ .

Soient $a$ et $b$ deux réels avec $a \leq b$ et $f$ une fonction continue sur $[a; b]$ . L’intégrale de la fonction $f$ sur $[a; b]$ notée $\int_{a}^{b} f (x) d x$ représente l’aire entre la courbe de $f$ et l’axe des abscisses délimitée par les droites d’équation $x = a$ et $x = b$ et est exprimée en U.A..

On dit que les réels $a$ et $b$ sont les bornes de l’intégrale.

Théorème fondamental de l’analyse

Pour calculer l’intégrale d’une fonction, il faut d’abord trouver la primitive de celle-ci (voir le cours sur les primitives).

Théorème fondamental de l’analyse

Soient une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ et deux réels $a$ et $b$ appartenant à $I$ . Alors : $\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)$ où $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ .

Signe de l’intégrale

De manière générale, le signe de l’intégrale d’une fonction sur un intervalle dépend du signe de cette fonction sur cet intervalle.

Relation signe de l’intégrale - signe de la fonction

Soient une fonction $f$ continue sur un intervalle $I = [a; b]$ .

Si $f > 0$ sur $I$ , alors $\int_{a}^{b} f (x) d x > 0$ .
Si $f < 0$ sur $I$ , alors $\int_{a}^{b} f (x) d x < 0$ .
Si $f$ change de signe sur $I$ , on ne connaît pas directement le signe de l’intégrale. Le signe dépend de la partie de l’aire qui est la plus grande.
Soit $g$ une fonction définie sur $I$ avec $f > g$ sur $I$ , alors $\int_{a}^{b} f (x) d x > \int_{a}^{b} g (x) d x$ .

Ainsi, cette intégrale sera positive :

Et cette intégrale sera négative :

Propriétés algébriques

Propriétés

Soient une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ et deux réels $a$ et $b$ appartenant à $I$ .

$\int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x$
$\int_{a}^{a} f (x) d x = 0$

Linéarité

Linéarité de l’intégrale

Soient une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ et deux réels $a$ et $b$ appartenant à $I$ . Soit $λ$ un réel quelconque.

$\int_{a}^{b} f (x) + g (x) d x = \int_{b}^{a} f (x) d x + \int_{b}^{a} g (x) d x$
$\int_{a}^{b} λ f (x) d x = λ \int_{b}^{a} f (x) d x$

Relation de Chasles

Soient une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ et deux réels $a$ et $b$ appartenant à $I$ . Pour tout $c \in I$ , on a $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x$ .

Intégration par parties

Il peut arriver que vous ayez à intégrer un produit de fonctions. En classe de Terminale, il est possible de faire appel à une technique appelée intégration par parties pour en venir à bout.

Intégration par parties

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et soient $a$ et $b$ appartenant à $I$ . Alors : $\int_{a}^{b} u^{'} (x) v (x) d x = [u (x) v (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u (x) v^{'} (x) d x$

Intégrales de fonctions paires et impaires

Intégrale d’une fonction paire

Soit $f$ une fonction paire continue sur un intervalle $I$ (comme $x \mapsto x^{2}$ ). On a la relation suivante pour tout $a \in I$ ( $- a$ doit aussi être dans $I$ ) : $\int_{- a}^{a} f (x) d x = 2 \times \int_{0}^{a} f (x) d x = 2 \times \int_{- a}^{0} f (x) d x$

Intégrale d’une fonction impaire

Soit $f$ une fonction impaire continue sur un intervalle $I$ (comme $x \mapsto x^{3}$ ). On a la relation suivante pour tout $a \in I$ ( $- a$ doit aussi être dans $I$ ) : $\int_{- a}^{a} f (x) d x = 0$

Intégrales de fonctions périodiques

Intégrale d’une fonction périodique

Soit $f$ une fonction périodique de période $T$ (comme $cos$ avec $T = 2 π$ ) continue sur chacune de ses périodes, on a la relation suivante pour tout $a \in R$ : $\int_{0}^{T} f (x) d x = \int_{a}^{a + T} f (x) d x$

Valeur moyenne d’une fonction

Valeur moyenne

Soient $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a; b]$ . La valeur moyenne $M$ de $f$ sur $[a; b]$ est donnée par : $M = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Aire entre deux courbes

Différence d’aires

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a; b]$ . Si on a $f \geq g$ sur cet intervalle, alors l’aire entre les deux courbes est donnée par : $\int_{a}^{b} f (x) - g (x) d x$

Primitive s’annulant en $a$

Existence d’une primitive s’annulant en un point

Soient une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ et un réel $a \in I$ . La primitive de $f$ sur $I$ qui vaut $0$ en $a$ (notée $F_{a}$ ) est donnée par : $F_{a} : x \mapsto \int_{a}^{x} f (t) d t$

Calcul d’aire

Aires et intégrales

Théorème fondamental de l’analyse

Théorème fondamental de l’analyse

Signe de l’intégrale

Relation signe de l’intégrale - signe de la fonction

Propriétés de l’intégrale

Propriétés algébriques

Propriétés

Linéarité

Linéarité de l’intégrale

Relation de Chasles

Relation de Chasles

Calculs d’intégrale

Intégration par parties

Intégration par parties

Intégrales de fonctions paires et impaires

Intégrale d’une fonction paire

Intégrale d’une fonction impaire

Intégrales de fonctions périodiques

Intégrale d’une fonction périodique

Valeur moyenne d’une fonction

Valeur moyenne

Aire entre deux courbes

Différence d’aires

Primitive s’annulant en a

Existence d’une primitive s’annulant en un point

Primitive s’annulant en $a$