Graphe pondéré

Un graphe est dit pondéré si chacune de ses arêtes est affecté d’un nombre positif (ou nul) que l’on appelle poids.

Le poids d’une chaîne (ou d’un chemin) est la somme des poids de ses arêtes.

Exemple

On considère le graphe orienté et pondéré suivant :

On a :

• Le poids de l’arête $A-B$ vaut $0$.

• Le poids du chemin $A-B-C-A-D$ vaut $0+4+2+7=13$.

Graphe probabiliste

On appelle graphe probabiliste un graphe orienté et pondéré tel que :

• Pour chaque sommet, la somme des poids des arcs issus de ce sommet vaut $1$.

• Il y a au plus $1$ arrête orientée reliant chaque sommet.

Exemple

Faisons un exemple concret. On souhaite étudier l’évolution d’une maladie chez un certain individu. À un jour donné, cet individu est soit malade (que l’on note $M$), soit soigné (que l’on note $S$). On suppose que pour cette maladie :

• La probabilité qu’une personne malade guérisse le lendemain est $0,4$.

• La probabilité qu’une personne saine tombe malade le lendemain est $0,1$.

Le graphe probabiliste modélisant cette situation est le graphe $G$ suivant :

On remarque que la somme des poids des arêtes issues du sommet $S$ vaut $0,9+0,1=1$ (idem pour $M$ qui vaut $0,6+0,4=1$).

Définition

Soit $G$ un graphe probabiliste d’ordre $n$. On appelle matrice de transition du graphe $G$, la matrice carrée d’ordre $n$ dont le coefficient à la ligne $i$ et à la colonne $j$ est égal au poids de l’arête reliant le sommet $i$ au sommet $j$.

Une telle matrice est qualifiée de stochastique car la somme des coefficients de chacune de ses lignes vaut $1$.

Exemple

Dans l’exemple précédent (en supposant que $S$ est le 1 sommet et que $M$ est le 2ème) la matrice de transition du graphe $G$ est $\left(\begin{array}{cc}0,9& 0,1\\ 0,4& 0,6\end{array}\right)$.

Définition

Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires discrètes définies sur un même univers $\Omega$ et à valeurs dans un ensemble $E$. On dit que $(X_n)$ définit une chaîne de Markov sur $E$ si pour tout $n\in \mathbb{N}$ et tout $x_0,x_1,x_2,\dots ,x_n\in E$, l’événement $(X_n=x_n)$ ne dépend que de l’événement antérieur $(X_{n-1}=x_{n-1})$ (et pas des précédents) ; autrement dit, si $P_{(X_{n-1}=x_{n-1})\cap \cdots \cap (X_0=x_0)}(X_n=x_n)=P_{(X_{n-1}=x_{n-1})}(X_n=x_n)$.

De plus, l’ensemble $E$ est appelé espace des états de la chaîne de Markov.

Variable aléatoire discrète

Une variable aléatoire $X$ définie sur un univers $\Omega$ est dite discrète si $X(\Omega )$ est un ensemble dénombrable.

Chaîne de Markov homogène

Soit $(X_n)$ une chaîne de Markov dont on note $E$ l’espace des états. Alors $(X_n)$ est dite homogène si pour tout $n\in \mathbb{N}$ et pour tout $x$, $y\in E$, la probabilité $P_{(X_n=x)}(X_{n+1}=y)$ est indépendante de $n$.

En termes mathématiques, cela signifie que pour tout $n\in \mathbb{N}$ et pour tout $x$, $y\in E$, $P_{(X_n=x)}(X_{n+1}=y)=P_{(X_0=x)}(X_1=y)$.

Exemple

Eliott fait la collection des vignettes des 11 joueurs titulaires de l’Équipe de France de football qu’il trouve dans des paquets de céréales. À chaque fois qu’il achète un paquet, il a donc une probabilité de $\frac{1}{11}$ de tomber sur le $k$-ième joueur (pour tout $k$ compris entre $1$ et $11$).

Si on note par $X_n$ le nombre de vignettes différentes dans la collection d’Eliott après qu’il eut ouvert $n$ paquets de céréales, alors $(X_n)$ est une chaîne de Markov homogène (commençant par $X_0=0$). En effet, pour tout $k\in \{0,1,\dots ,11\}$, on a que l’événement $(X_{n+1}=k)$ ne dépend que de $X_n$ :

$$P_A(X_{n+1}=k)=\{\begin{array}{l}\frac{k}{11}\text{ si }A\text{ est l’eˊveˊnement }(X_n=k)\\ 1-\frac{k-1}{11}\text{ si }A\text{ est l’eˊveˊnement }(X_n=k-1)\text{ et que }k\ge 1\\ 0\text{ sinon}\end{array}$$

Pour détailler un peu plus :

• Si on a $(X_n=k)$ (i.e. on a déjà tiré $k$ joueurs différents), alors la probabilité d’avoir $(X_{n+1}=k)$ est égale à la probabilité de ne pas tirer de nouveau joueur (qui est $\frac{k}{11}$). Cela inclut également le cas où $k=11$.

• Si on a $(X_n=k-1)$ (i.e. on a déjà tiré $k-1$ joueurs différents), alors la probabilité d’avoir $(X_{n+1}=k)$ est égale à la probabilité de tirer un nouveau joueur (qui est $1-\frac{k-1}{11}$).

• Sinon, comme on ne peut pas tirer plus d’un nouveau joueur d’un coup ou en enlever de la collection, la probabilité d’avoir $(X_{n+1}=k)$ est égale à $0$.

• Notons de plus que $(X_n)$ est homogène car le calcul de $P(X_{n+1}=k)$ est indépendant de $n$ (mais reste dépendant de $X_n$, attention).

De plus, l’espace des états $E$ est $\{0,1,\dots ,11\}$.

Cet exemple est très connu et porte un nom : il s’agit du problème du collectionneur de vignettes. Pour votre culture, sachez qu’en moyenne, il faudra ouvrir environ $n\ln (n)$ paquets de céréales pour compléter une collection de $n$ vignettes.

Matrice de transition

Soit $(X_n)$ une chaîne de Markov homogène dont on note $E=\{x_1,x_2,\dots ,x_m\}$ l’espace des états. La matrice de transition de $(X_n)$ est la matrice carrée d’ordre $m$ dont le coefficient situé à la $i$-ième ligne et à la $j$-ième colonne est égal à $p_{i,j}=P_{(X_n=x_i)}(X_{n+1}=x_j)$.

Comme cette probabilité est indépendante de $n$, on peut tout à fait prendre $n=0$ dans la définition. On a alors $p_{i,j}=P_{(X_0=x_i)}(X_1=x_j)$.

Graphe associé à une chaîne de Markov

Soit $(X_n)$ une chaîne de Markov homogène dont on note $E=\{x_1,x_2,\dots ,x_m\}$ l’espace des états. On associe à cette chaîne de Markov un graphe probabiliste $G$ d’ordre $m$ dont les sommets sont les états $x_i$ et dont les arêtes $x_i-x_j$ sont pondérées par les poids $p_{i,j}=P_{(X_n=x_i)}(X_{n+1}=x_j)$.

La matrice de transition de $(X_n)$ est égale à la matrice de transition du graphe probabiliste $G$ : il s’agit donc aussi d’une matrice stochastique.

Exemple

Reprenons l’exemple précédent. Alors la matrice de transition associée à $(X_n)$ est la matrice $M\in {\mathcal{M}}_{12}(\mathbb{R})$ : $$M=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& \dots & 0& 0\\ 0& \frac{1}{11}& \ddots & 0& 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& 0& \ddots & \frac{10}{11}& \frac{1}{11}\\ 0& 0& \dots & 0& 1\end{array}\right)$$ Et le graphe associé à $(X_n)$ est le graphe probabiliste d’ordre $12$ :

Proposition

Soit $(X_n)$ une chaîne de Markov homogène dont on note $E=\{x_1,x_2,\dots ,x_m\}$ l’espace des états. On pose $p_{i,j}^{(k)}=P_{(X_0=x_i)}(X_k=x_j)$ pour tout $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ (qui représente la probabilité que la chaîne de Markov $(X_n)$ passe de l’état $x_i$ à l’état $x_j$ en $k$ étapes). On a : $$p_{i,j}^{(k)}=\sum _{q=1}^m{p}_{i,q}^{(k-1)}\times p_{q,j}^{(1)}=p_{i,1}^{(k-1)}\times p_{1,j}^{(1)}+p_{i,2}^{(k-1)}\times p_{2,j}^{(1)}+\cdots +p_{i,m}^{(k-1)}\times p_{m,j}^{(1)}$$ De plus, comme $(X_n)$ est homogène, $p_{i,j}^{(k)}=p_{i,j}^{(n+k)}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

Proposition

$$\begin{array}{rl}{p}_{i,j}^{(k)}& =P_{(X_0=x_i)}(X_k=x_j)\\ & =\sum _{q=1}^m{P}_{(X_0=x_i)}((X_k=x_j)\cap (X_{k-1}=x_q))\\ & =\sum _{q=1}^m{P}_{(X_{k-1}=x_q)\cap (x_0=x_i)}(X_k=x_j)P_{(X_0=x_i)}(X_{k-1}=x_q)\text{ (probabiliteˊs totales)}\\ & =\sum _{q=1}^m{P}_{(X_{k-1}=x_q)}(X_k=x_j)P_{(X_0=x_i)}(X_{k-1}=x_q)\\ & =\sum _{q=1}^m{P}_{(X_0=x_q)}(X_1=x_j)P_{(X_0=x_i)}(X_{k-1}=x_q)\text{ (homogeˊneˊiteˊ)}\\ & =\sum _{q=1}^m{p}_{j,q}^{(1)}\times p_{i,q}^{(k-1)}\end{array}$$

Lien avec la matrice de transition

En reprenant les notations précédentes et en notant $M$ la matrice de transition de $(X_n)$, alors $p_{i,j}^{(k)}$ est le coefficient à la ligne $i$ et à la colonne $j$ de la matrice $M^k$.

Définition

Soit $(X_n)$ une chaîne de Markov homogène dont on note $E=\{x_1,x_2,\dots ,x_m\}$ l’espace des états. On appelle suite des distributions de $(X_n)$ la suite de matrices $({\pi }_n)$, définie pour tout $n\in \mathbb{N}$ par ${\pi }_n=\left(\begin{array}{cccc}P(X_n=x_1)& P(X_n=x_2)& \dots & P(X_n=e_m)\end{array}\right)$.

${\pi }_n$ est donc une matrice ligne d’ordre $m$ et est appelée distribution au temps $n$.

${\pi }_0$ (la distribution au temps $0$) est appelée distribution initiale.

Relation entre ${\pi }_{n+1}$ et ${\pi }_n$

En reprenant les notations de la définition précédente et en notant $M$ la matrice de transition de $(X_n)$, alors la suite $({\pi }_n)$ vérifie une relation de récurrence donnée pour tout $n\in \mathbb{N}$ par ${\pi }_{n+1}={\pi }_{n}M$.

On en déduit que pour tout $n\in \mathbb{N}$, ${\pi }_n={\pi }_0{M}^n$.

Relation entre ${\pi }_{n+1}$ et ${\pi }_n$

Soit $n\in \mathbb{N}$. Les événements $(X_n=x_1),(X_n=x_2),\dots ,(X_n=x_m)$ partitionnent (recouvrent) notre univers, donc par la formule des probabilités totales appliquée à notre système complet d’événements et à $(X_{n+1}=x_j)$ : $$\begin{array}{rl}P(X_{n+1}=x_j)& =P((X_{n+1}=x_j)\cap (X_n=x_1))+\cdots +P((X_{n+1}=x_j)\cap (X_n=x_m))\\ & =P_{(X_n=x_1)}(X_{n+1}=x_j)\times P(X_n=x_1)+\cdots +P_{(X_n=x_m)}(X_{n+1}=x_j)\times (X_n=x_m)\\ & ={\pi }_{n}M\end{array}$$ Et la formule ${\pi }_n={\pi }_0{M}^n$ se déduit de la formule d’une suite géométrique (où $M$ serait la raison et ${\pi }_0$ le premier terme).

Exemple

Intéressons-nous à l’alimentation d’un chat durant la journée. Il dispose de trois gamelles différentes $L$, $C$ et $P$ dans lesquelles se trouvent respectivement du lait, des croquettes et de la pâté. On suppose que le chat a commencé sa journée par du lait et que toutes les heures, il se dirige vers une des gamelles suivant le graphe probabiliste ci-dessous :

On note par $X_n$ la variable aléatoire qui donne la gamelle qu’a choisi le chat à la $n$-ième heure. On a donc que $(X_n)$ est une chaîne de Markov homogène dont l’espace des états est $E=\{L;C;P\}$. Si on note $({\pi }_n)$ la suite des distributions de $(X_n)$, on a alors que ${\pi }_0=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\end{array}\right)$.

Soit $M$ la matrice de transition $M$ de $(X_n)$. Calculons quelques puissances de $M$ :

• $M=\left(\begin{array}{ccc}0,5& 0,3& 0,2\\ 0,2& 0,7& 0,1\\ 0,3& 0,3& 0,4\end{array}\right)$

• $M^2=\left(\begin{array}{ccc}0,37& 0,42& 0,21\\ 0,27& 0,58& 0,15\\ 0,33& 0,42& 0,25\end{array}\right)$

• $M^3=\left(\begin{array}{ccc}0,332& 0,468& 0,2\\ 0,296& 0,532& 0,172\\ 0,324& 0,468& 0,208\end{array}\right)$

Ainsi :

• ${\pi }_1={\pi }_{0}M=\left(\begin{array}{ccc}0,5& 0,3& 0,2\end{array}\right)$

• ${\pi }_2={\pi }_0{M}^2=\left(\begin{array}{ccc}0,37& 0,42& 0,21\end{array}\right)$

• ${\pi }_3={\pi }_0{M}^3=\left(\begin{array}{ccc}0,332& 0,468& 0,2\end{array}\right)$

Et par exemple $p_{1,2}^{(3)}=0,468$ : la probabilité que le chat passe à sa gamelle de croquettes 3 heures après le lait est d’environ 47 %.

Définition

Soit $(X_n)$ une chaîne de Markov homogène de matrice de transition $M$. Une distribution $\pi$ est invariante si les deux conditions suivantes sont respectées :

• $\pi M=\pi$ (donc si $\pi$ est une distribution à un temps $n$, on a $\pi ={\pi }_n$ et cette condition se résume à avoir ${\pi }_n={\pi }_{n}M={\pi }_{n+1}$).

• La somme des coefficients de $\pi$ vaut $1$.

Existence et unicité de la distribution invariante au temps $n$

Soit $(X_n)$ une chaîne de Markov homogène de matrice de transition $M$.

Si $M$ ne possède aucun coefficient non nul autre que sur sa diagonale, alors $(X_n)$ admet une unique distribution invariante $\pi$.

Convergence de la distribution

Soit $(X_n)$ une chaîne de Markov homogène dont on note $({\pi }_n)$ la suite des distributions.

• Si $({\pi }_n)$ est une suite de matrices convergente, alors elle converge vers une distribution invariante $\pi$.

• Si le cardinal de l’ensemble des états de $(X_n)$ est $2$, alors $({\pi }_n)$ est convergente (et converge vers la distribution invariante $\pi$).

Exemple

Reprenons l’exemple précédent et voyons si $(X_n)$ admet une distribution invariante.

Remarquons tout d’abord que la matrice de transition $M$ ne possède aucun coefficient non nul. Donc $(X_n)$ admet une unique distribution invariante $\pi$.

Posons donc $\pi =\left(\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right)$ et déterminons $x$, $y$ et $z$ :

On doit avoir $\pi M=\pi$. Cela revient à résoudre le système suivant : $$\left(\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0,5& 0,3& 0,2\\ 0,2& 0,7& 0,1\\ 0,3& 0,3& 0,4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(S)}$$ D’où : $$\begin{array}{rl}(S)& ⟺\left(\begin{array}{ccc}0,5x+0,2y+0,3z& 0,3x+0,7y+0,3z& 0,2x+0,1y+0,4z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right)\\ & ⟺\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}x+\frac{1}{5}y+\frac{3}{10}z=x\\ \frac{3}{10}x+\frac{7}{10}y+\frac{3}{10}z=y\\ \frac{1}{5}x+\frac{1}{10}y+\frac{2}{5}z=z\end{array}\text{ (en passant en eˊcriture fractionnaire)}\\ & ⟺\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{5}y+\frac{3}{10}z=0\\ \frac{3}{10}x-\frac{3}{10}y+\frac{3}{10}z=0\\ \frac{1}{5}x+\frac{1}{10}y-\frac{3}{5}z=0\end{array}\\ & ⟺\{\begin{array}{l}x=\frac{2}{5}y+\frac{3}{5}z\\ -\frac{9}{50}y+\frac{12}{25}z=0\\ \frac{9}{50}y-\frac{12}{25}z=0\end{array}\\ & ⟺\{\begin{array}{l}x=\frac{2}{5}\times \frac{8}{3}z+\frac{3}{5}z=\frac{5}{3}z\\ y=\frac{50}{9}\times \frac{12}{25}z=\frac{8}{3}z\end{array}\end{array}$$ Donc $\pi$ est de la forme $\pi =\left(\begin{array}{ccc}\frac{5}{3}z& \frac{8}{3}z& z\end{array}\right)$. De plus, la somme des coefficients de $\pi$ doit faire $1$, donc : $$\frac{5}{3}z+\frac{8}{3}z+z=1⟺\frac{16}{3}z=1⟺z=\frac{3}{16}$$ Donc l’unique distribution invariante $\pi$ de $(X_n)$ est : $$\pi =\left(\begin{array}{ccc}\frac{5}{16}& \frac{1}{2}& \frac{3}{16}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0,3125& 0,5& 0,1875\end{array}\right)$$