I – Vecteurs de l'espace
1. Lien avec la géométrie plane
Définition
Un vecteur de l'espace est un vecteur possédant trois coordonnées. De même, un point de l'espace est un point possédant trois coordonnées.
Comme dans le plan, un vecteur de l'espace est caractérisé par une norme (sa longueur), un sens, et une direction.
Opérations sur les vecteurs
Soient
- On peut additionner deux vecteurs :
. - On peut multiplier un vecteur par un réel :
.
La relation de Chasles est également disponible dans l'espace.
Relation de Chasles
Soient
2. Coplanarité
Soient
Définition
3. Repérage dans l'espace
Repère de l'espace
Soient
Tout point
On dit alors
Nom des coordonnées
En reprenant les notations précédentes,
Dans toute la suite du chapitre, on se placera dans le repère précédent
Types de repères
- Le repère est dit orthogonal si
, et sont orthogonaux les uns par rapport aux autres. - Le repère est dit normé si
, et sont de norme . - Le repère est dit orthonormé si les deux conditions précédentes sont réunies.
II – Produit scalaire dans l'espace
1. Caractérisation
Soient
Toutes les propriétés du produit scalaire du plan sont par conséquent également applicables dans l'espace. Il vous est donc conseillé de relire le cours de Première sur le produit scalaire.
2. Calcul du produit scalaire
Calcul avec les coordonnées
Soient
On a
Calcul avec un angle
Soient
Calcul un projeté orthogonal
Soient
- Si
alors - Si
alors
Si on ne possède que les normes de nos vecteurs, il est possible d'utiliser la formule de polarisation.
Formule de polarisation
Soient
Utilisation des formules
Il faut vraiment trouver la formule à utiliser selon l'énoncé de l'exercice.
Par exemple, si on se trouve dans un repère et que l'on a les coordonnées des vecteurs, on pourra utiliser la formule analytique (la première formule donnée).
À l'inverse, si on ne possède pas les coordonnées de nos vecteurs mais que l'on possède leur normes, il est possible d'utiliser la formule de polarisation.
Voici un tableau récapitulatif pour
Paramètres | Formule | À utiliser si on possède... |
---|---|---|
Les coordonnées de | ||
La norme de | ||
3 points distincts (qui sont ici | ||
& | On possède la norme de |
III – Droites de l'espace
1. Définition
Une droite passant par deux points de l'espace différents
2. Caractérisation
Vecteur directeur d'une droite
Le vecteur directeur d'une droite de l'espace est le vecteur qui porte (ou qui suit) cette droite.
Plusieurs manières existent pour caractériser une droite de l'espace.
Caractérisation d'une droite de l'espace
Soit
Soit
- Caractérisation vectorielle :
où . - Caractérisation par système d'équations paramétriques :
.
Comment déterminer une représentation paramétrique d'une droite ?
On a deux cas : soit on a directement un point
Soit on nous donne deux points de la droite, disons
3. Intersection de deux droites
Intersection de deux droites
Soient
- Si
et ne sont pas coplanaires, leur intersection est vide. - Si
et sont coplanaires et parallèles mais pas confondues, leur intersection est vide. - Si
et sont coplanaires et confondues, leur intersection est la droite . - Si
et sont coplanaires et non parallèles, leur intersection est un point.
4. Orthogonalité de deux droites
Définition
Deux droites
Relation avec les vecteurs directeurs
Ainsi,
IV – Plans de l'espace
1. Définition
Soient trois points
2. Caractérisation
Vecteur normal à un plan
On dit qu'un vecteur est normal à un plan s'il est orthogonal à tous les vecteurs de ce plan.
Plusieurs manières existent pour caractériser un plan de l'espace.
Caractérisation d'un plan de l'espace
Soit
On se donne un vecteur de l'espace
Soit
- Caractérisation vectorielle :
. - Caractérisation par une équation cartésienne :
Il existe tel que .
Comment déterminer une équation cartésienne d'un plan ?
Deux cas : soit on a directement un point du plan ainsi qu'un vecteur normal à ce plan. Dans ce cas, on remplace
Soit on a un point du plan et on précise que le plan doit être perpendiculaire à une droite dont la représentation paramétrique est donnée. Dans ce cas le vecteur normal au plan sera un vecteur directeur de cette droite et il faudra encore une fois appliquer la deuxième formule donnée précédemment.
3. Intersections
Intersection d'un plan et d'une droite
Soient
- Si
contient , leur intersection est la droite . - Si
ne contient pas et que et sont parallèles, leur intersection est vide. - Si
ne contient pas et que et ne sont pas parallèles, leur intersection est un point.
Intersection de deux plans
Soient
- Si
et sont confondus, leur intersection est le plan . - Si
et sont parallèles mais pas confondus, leur intersection est vide. - Si
et ne sont ni parallèles ni confondus, leur intersection est une droite.
Intersection de trois plans
L'intersection de trois plans de l'espace peut soit être vide, soit être une droite, soit être un point.
4. Orthogonalités
Définition
Soient
Relation avec les vecteurs directeurs
Ainsi,
Propriétés
Plusieurs propriétés découlent de ceci :
- Si deux plans sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l'un est orthogonale à l'autre.
- Si deux plans sont orthogonaux à une même droite, alors ils sont alors parallèles.
- Pour montrer qu'une droite est orthogonale à un plan, il suffit de montrer que cette droite est orthogonale à deux droites de ce plan.
- Si deux droites sont parallèles, tout plan orthogonal à l'une est orthogonal à l'autre.
- Si deux droites sont orthogonales à un même plan, alors elles sont parallèles entre elles.
5. Plan médiateur
Définition
Soient