Définition

Un vecteur de l’espace est un vecteur possédant trois coordonnées. De même, un point de l’espace est un point possédant trois coordonnées.

Opérations sur les vecteurs

Soient $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\\ z_1\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\\ z_2\end{array}\right)$ deux vecteurs de l’espace et $\lambda$ un réel quelconque.

• On peut additionner deux vecteurs : $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}{x}_1+x_2\\ y_1+y_2\\ z_1+z_2\end{array}\right)$.
• On peut multiplier un vecteur par un réel : $\lambda \overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}\lambda x_1\\ \lambda y_1\\ \lambda z_1\end{array}\right)$.

Relation de Chasles

Soient $A$, $B$ et $C$ trois points de l’espace. Alors $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$.

Définition

$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires s’il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $\overrightarrow{w}=\alpha \overrightarrow{u}+\beta \overrightarrow{v}$.

Repère de l’espace

Soient $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{k}$ trois vecteurs non coplanaires de l’espace et $O$ un point de l’espace. Tout point $M$ peut alors être identifié dans ce repère par un unique triplet de réels $(x;y;z)$ tel que : $$\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$$ On dit alors $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$ est un repère de l’espace et les coordonnées de $M$ dans ce repère sont alors $(x;y;z)$. Par abus de langage, on notera cela $M=(x;y;z)$.

Types de repères

• Le repère est dit orthogonal si $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{k}$ sont orthogonaux les uns par rapport aux autres.
• Le repère est dit normé si $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{k}$ sont de norme $1$.
• Le repère est dit orthonormé si les deux conditions précédentes sont réunies.

Calcul avec les coordonnées

Soient $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\\ z_1\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\\ z_2\end{array}\right)$ deux vecteurs de l’espace.

On a : $$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2$$

Calcul avec un angle

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan et $\theta$ l’angle orienté entre les deux. On a : $$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\Vert \overrightarrow{u}\Vert \times \Vert \overrightarrow{v}\Vert \times \cos (\theta )$$

Calcul un projeté orthogonal

Soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts de l’espace. On se place dans le plan défini par ces points. On pose $P$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$. Alors :

• Si $P\in [AB)$ alors $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\times AP$
• Si $P\notin [AB)$ alors $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-AB\times AP$

Formule de polarisation

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs de l’espace : $$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\frac{1}{2}\left(\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}{\Vert }^2-\Vert \overrightarrow{u}{\Vert }^2-\Vert \overrightarrow{v}{\Vert }^2\right)$$

Vecteur directeur d’une droite

Le vecteur directeur d’une droite de l’espace est le vecteur qui porte (ou qui suit) cette droite.

Caractérisation d’une droite de l’espace

Soit $\mathcal{D}$ une droite de l’espace passant par un point $A=(x_A,y_A,y_C)$ de vecteur directeur $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)$.

Soit $M=(x;y;z)$. On peut caractériser $\mathcal{D}$ de deux manières :

• Caractérisation vectorielle :$$M\in \mathcal{D}⟺\overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow{u}$$ où $\lambda \in \mathbb{R}$
• Caractérisation par système d’équations paramétriques :$$M\in \mathcal{D}⟺\text{il existe }\lambda \in \mathbb{R}\text{ tel que }\{\begin{array}{l}x=x_A+\lambda a\\ y=y_A+\lambda b\\ z=z_A+\lambda c\end{array}$$

Intersection de deux droites

Soient ${\mathcal{D}}_1$ et ${\mathcal{D}}_2$ deux droites. On a les relations suivantes :

• Si ${\mathcal{D}}_1$ et ${\mathcal{D}}_2$ ne sont pas coplanaires, leur intersection est vide.
• Si ${\mathcal{D}}_1$ et ${\mathcal{D}}_2$ sont coplanaires et parallèles mais pas confondues, leur intersection est vide.
• Si ${\mathcal{D}}_1$ et ${\mathcal{D}}_2$ sont coplanaires et confondues, leur intersection est la droite ${\mathcal{D}}_1$.
• Si ${\mathcal{D}}_1$ et ${\mathcal{D}}_2$ sont coplanaires et non parallèles, leur intersection est un point.

Définition

Deux droites ${\mathcal{D}}_1$ et ${\mathcal{D}}_2$ sont orthogonales s’il existe une parallèle à ${\mathcal{D}}_1$ qui est perpendiculaire à ${\mathcal{D}}_2$.

Vecteur normal à un plan

On dit qu’un vecteur est normal à un plan s’il est orthogonal à tous les vecteurs de ce plan.

Caractérisation d’un plan de l’espace

Soit $\mathcal{P}$ un plan de l’espace contenant un point $A$ et soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs de l’espace non-colinéaires mais qui appartiennent à $\mathcal{P}$.

On se donne un vecteur de l’espace $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)$ orthogonal à $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ (qui est donc normal à $\mathcal{P}$).

Soit $M=(x;y;z)$. On peut caractériser $\mathcal{P}$ de deux manières :

• Caractérisation vectorielle :$$M\in \mathcal{P}⟺\text{il existe }\lambda \text{ et }\mu \in \mathbb{R}\text{ tels que }\overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow{u}+\mu \overrightarrow{v}$$
• Caractérisation par une équation cartésienne :$$M\in \mathcal{P}⟺\text{il existe }d\in \mathbb{R}\text{ tel que }ax+by+cz+d=0$$

Intersection d’un plan et d’une droite

Soient $\mathcal{P}$ un plan de l’espace et $\mathcal{D}$ une droite de l’espace :

• Si $\mathcal{P}$ contient $\mathcal{D}$, leur intersection est la droite $\mathcal{D}$.
• Si $\mathcal{P}$ ne contient pas $\mathcal{D}$ et que $\mathcal{P}$ et $\mathcal{D}$ sont parallèles, leur intersection est vide.
• Si $\mathcal{P}$ ne contient pas $\mathcal{D}$ et que $\mathcal{P}$ et $\mathcal{D}$ ne sont pas parallèles, leur intersection est un point.

Intersection de deux plans

Soient ${\mathcal{P}}_1$ et ${\mathcal{P}}_2$ deux plans de l’espace :

• Si ${\mathcal{P}}_1$ et ${\mathcal{P}}_2$ sont confondus, leur intersection est le plan ${\mathcal{P}}_1$.
• Si ${\mathcal{P}}_1$ et ${\mathcal{P}}_2$ sont parallèles mais pas confondus, leur intersection est vide.
• Si ${\mathcal{P}}_1$ et ${\mathcal{P}}_2$ ne sont ni parallèles ni confondus, leur intersection est une droite.

Définition

Soient $\mathcal{P}$ un plan de l’espace et $\mathcal{D}$ une droite de l’espace. On dit que $\mathcal{D}$ est orthogonale à $\mathcal{P}$ si $\mathcal{D}$ est orthogonale à toutes les droites de ce plan.

Définition

Soient $\mathcal{P}$ un plan de l’espace, $A$ et $B$ deux points de l’espace.

$\mathcal{P}$ est un plan médiateur si $\mathcal{P}$ est orthogonal au segment $[AB]$ et passe par le milieu de ce segment.