Définition

Un vecteur de l’espace est un vecteur possédant trois coordonnées. De même, un point de l’espace est un point possédant trois coordonnées.

Opérations sur les vecteurs

Soient $\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix}$ deux vecteurs de l’espace et $\lambda$ un réel quelconque.

• On peut additionner deux vecteurs : $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \\ z_1 + z_2 \end{pmatrix}$.

• On peut multiplier un vecteur par un réel : $\lambda \overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} \lambda x_1 \\ \lambda y_1 \\ \lambda z_1 \end{pmatrix}$.

Relation de Chasles

Soient $A$, $B$ et $C$ trois points de l’espace. Alors $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$.

Définition

$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires s’il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $\overrightarrow{w} = \alpha \overrightarrow{u} + \beta \overrightarrow{v}$.

Repère de l’espace

Soient $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{k}$ trois vecteurs non coplanaires de l’espace et $O$ un point de l’espace. Tout point $M$ peut alors être identifié dans ce repère par un unique triplet de réels $(x;y;z)$ tel que : $$\overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k}$$ On dit alors $(O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j} ; \overrightarrow{k})$ est un repère de l’espace et les coordonnées de $M$ dans ce repère sont alors $(x; y; z)$. Par abus de langage, on notera cela $M = (x; y; z)$.

Types de repères

• Le repère est dit orthogonal si $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{k}$ sont orthogonaux les uns par rapport aux autres.

• Le repère est dit normé si $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{k}$ sont de norme $1$.

• Le repère est dit orthonormé si les deux conditions précédentes sont réunies.

Calcul avec les coordonnées

Soient $\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} {x_1} \\ {y_1} \\ {z_1} \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} {x_2} \\ {y_2} \\ {z_2} \end{pmatrix}$ deux vecteurs de l’espace.

On a : $$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$$

Calcul avec un angle

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan et $\theta$ l’angle orienté entre les deux. On a : $$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \Vert \overrightarrow{u} \Vert \times \Vert \overrightarrow{v} \Vert \times \cos(\theta)$$

Calcul un projeté orthogonal

Soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts de l’espace. On se place dans le plan défini par ces points. On pose $P$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$. Alors :

• Si $P \in [AB)$ alors $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AP$

• Si $P \notin [AB)$ alors $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = - AB \times AP$

Formule de polarisation

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs de l’espace : $$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \frac{1}{2} \left(\Vert \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \Vert^2 - \Vert \overrightarrow{u} \Vert^2 - \Vert \overrightarrow{v} \Vert^2\right)$$

Vecteur directeur d’une droite

Le vecteur directeur d’une droite de l’espace est le vecteur qui porte (ou qui suit) cette droite.

Caractérisation d’une droite de l’espace

Soit $\mathcal{D}$ une droite de l’espace passant par un point $A = (x_A, y_A, y_C)$ de vecteur directeur $\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$.

Soit $M = (x; y; z)$. On peut caractériser $\mathcal{D}$ de deux manières :

• Caractérisation vectorielle : $$M \in \mathcal{D} \iff \overrightarrow{AM} = \lambda \overrightarrow{u}$$ où $\lambda \in \mathbb{R}$

• Caractérisation par système d’équations paramétriques : $$M \in \mathcal{D} \iff \text{il existe } \lambda \in \mathbb{R} \text{ tel que } \begin{cases} x = x_A + \lambda a \\ y = y_A + \lambda b \\ z = z_A + \lambda c \end{cases}$$

Intersection de deux droites

Soient $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ deux droites. On a les relations suivantes :

• Si $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ ne sont pas coplanaires, leur intersection est vide.

• Si $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont coplanaires et parallèles mais pas confondues, leur intersection est vide.

• Si $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont coplanaires et confondues, leur intersection est la droite $\mathcal{D}_1$.

• Si $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont coplanaires et non parallèles, leur intersection est un point.

Définition

Deux droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont orthogonales s’il existe une parallèle à $\mathcal{D}_1$ qui est perpendiculaire à $\mathcal{D}_2$.

Vecteur normal à un plan

On dit qu’un vecteur est normal à un plan s’il est orthogonal à tous les vecteurs de ce plan.

Caractérisation d’un plan de l’espace

Soit $\mathcal{P}$ un plan de l’espace contenant un point $A$ et soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs de l’espace non-colinéaires mais qui appartiennent à $\mathcal{P}$.

On se donne un vecteur de l’espace $\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ orthogonal à $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ (qui est donc normal à $\mathcal{P}$).

Soit $M = (x; y; z)$. On peut caractériser $\mathcal{P}$ de deux manières :

• Caractérisation vectorielle : $$M \in \mathcal{P} \iff \text{il existe } \lambda \text{ et } \mu \in \mathbb{R} \text{ tels que } \overrightarrow{AM} = \lambda \overrightarrow{u} + \mu \overrightarrow{v}$$

• Caractérisation par une équation cartésienne : $$M \in \mathcal{P} \iff \text{il existe } d \in \mathbb{R} \text{ tel que } ax + by + cz + d = 0$$

Intersection d’un plan et d’une droite

Soient $\mathcal{P}$ un plan de l’espace et $\mathcal{D}$ une droite de l’espace :

• Si $\mathcal{P}$ contient $\mathcal{D}$, leur intersection est la droite $\mathcal{D}$.

• Si $\mathcal{P}$ ne contient pas $\mathcal{D}$ et que $\mathcal{P}$ et $\mathcal{D}$ sont parallèles, leur intersection est vide.

• Si $\mathcal{P}$ ne contient pas $\mathcal{D}$ et que $\mathcal{P}$ et $\mathcal{D}$ ne sont pas parallèles, leur intersection est un point.

Intersection de deux plans

Soient $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ deux plans de l’espace :

• Si $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont confondus, leur intersection est le plan $\mathcal{P}_1$.

• Si $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont parallèles mais pas confondus, leur intersection est vide.

• Si $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ ne sont ni parallèles ni confondus, leur intersection est une droite.

Définition

Soient $\mathcal{P}$ un plan de l’espace et $\mathcal{D}$ une droite de l’espace. On dit que $\mathcal{D}$ est orthogonale à $\mathcal{P}$ si $\mathcal{D}$ est orthogonale à toutes les droites de ce plan.

Définition

Soient $\mathcal{P}$ un plan de l’espace, $A$ et $B$ deux points de l’espace.

$\mathcal{P}$ est un plan médiateur si $\mathcal{P}$ est orthogonal au segment $[AB]$ et passe par le milieu de ce segment.