Vecteurs de l'espace

Lien avec la géométrie plane

Un vecteur de l'espace est un vecteur possédant trois coordonnées. De même, un point de l'espace est un point possédant trois coordonnées.

Comme dans le plan, un vecteur de l'espace est caractérisé par une norme (sa longueur), un sens, et une direction.

Soient $\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix}$ deux vecteurs de l'espace et $\lambda$ un réel quelconque.

• On peut additionner deux vecteurs : $u + v = \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \\ z_1 + z_2 \end{pmatrix}$.
• On peut multiplier un vecteur par un réel : $\lambda u = \begin{pmatrix} \lambda x_1 \\ \lambda y_1 \\ \lambda z_1 \end{pmatrix}$.

La relation de Chasles est également disponible dans l'espace.

Soient $A$, $B$ et $C$ trois points de l'espace. Alors $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$.

Coplanarité

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs non colinéaires de l'espace et $\overrightarrow{w}$ un autre vecteur de l'espace. Ces vecteurs sont dits coplanaires s'il existe des représentants de ces trois vecteurs dans un même plan. De manière plus formelle :

$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires s'il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $\overrightarrow{w} = \alpha \overrightarrow{u} + \beta \overrightarrow{v}$.

Repérage dans l'espace

Soient $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{k}$ trois vecteurs non coplanaires de l'espace et $O$ un point de l'espace.

Tout point $M$ peut alors être identifié dans ce repère par un unique triplet de réels $(x;y;z)$ tel que :

$\overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k}$.

On dit alors $(O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j} ; \overrightarrow{k})$ est un repère de l'espace et les coordonnées de $M$ dans ce repère sont alors $(x; y; z)$. Par abus de langage, on notera cela $M = (x; y; z)$.

Dans toute la suite du chapitre, on se placera dans le repère précédent $(O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j} ; \overrightarrow{k})$.

• Le repère est dit orthogonal si $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{k}$ sont orthogonaux les uns par rapport aux autres.
• Le repère est dit normé si $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{k}$ sont de norme $1$.
• Le repère est dit orthonormé si les deux conditions précédentes sont réunies.

Produit scalaire dans l'espace

Caractérisation

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs de l'espace et $A$, $B$ et $C$ trois points de l'espace. Il existe un plan qui contient les points $A$, $B$ et $C$ tels que $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{AC}$. Le produit scalaire $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$ est alors égal au produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ dans ce plan.

Toutes les propriétés du produit scalaire du plan sont par conséquent également applicables dans l'espace. Il vous est donc conseillé de relire le cours de Première sur le produit scalaire.

Calcul du produit scalaire

Soient $\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} {x_1} \\ {y_1} \\ {z_1} \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} {x_2} \\ {y_2} \\ {z_2} \end{pmatrix}$ deux vecteurs de l'espace.

On a $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan et $\theta$ l'angle orienté entre les deux. On a :

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = ||\overrightarrow{u}|| \times ||\overrightarrow{v}|| \times \cos(\theta)$

Soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts de l'espace. On se place dans le plan défini par ces points. On pose $P$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$. Alors :

• Si $P \in [AB)$ alors $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AP$
• Si $P \notin [AB)$ alors $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = - AB \times AP$

Si on ne possède que les normes de nos vecteurs, il est possible d'utiliser la formule de polarisation.

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs de l'espace :

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \displaystyle{\frac{1}{2} \left(||\overrightarrow{u + v}||^2 - ||\overrightarrow{u}||^2 - ||\overrightarrow{v}||^2\right)}$.

Droites de l'espace

Définition

Une droite passant par deux points de l'espace différents $A$ et $B$ peut être définie par ces points. Ainsi la droite de l'espace contenant les points $A$ et $B$ peut se nommer la droite $(AB)$.

Caractérisation

Le vecteur directeur d'une droite de l'espace est le vecteur qui porte (ou qui suit) cette droite.

Plusieurs manières existent pour caractériser une droite de l'espace.

Soit $\mathcal{D}$ une droite de l'espace passant par un point $A = (x_A, y_A, y_C)$ de vecteur directeur $\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$.

Soit $M = (x; y; z)$. On peut caractériser $\mathcal{D}$ de deux manières :

• Caractérisation vectorielle :
  $M \in \mathcal{D} \iff \overrightarrow{AM} = \lambda \overrightarrow{u}$ où $\lambda \in \mathbb{R}$.
• Caractérisation par système d'équations paramétriques :
  $M \in \mathcal{D} \iff \text{ il existe } \lambda \in \mathbb{R} \text{ tel que } \begin{cases} x = x_A + \lambda a \\ y = y_A + \lambda b \\ z = z_A + \lambda c \end{cases}$.

Intersection de deux droites

Soient $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ deux droites. On a les relations suivantes :

• Si $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ ne sont pas coplanaires, leur intersection est vide.
• Si $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont coplanaires et parallèles mais pas confondues, leur intersection est vide.
• Si $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont coplanaires et confondues, leur intersection est la droite $\mathcal{D}_1$.
• Si $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont coplanaires et non parallèles, leur intersection est un point.

Orthogonalité de deux droites

Deux droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont orthogonales s'il existe une parallèle à $\mathcal{D}_1$ qui est perpendiculaire à $\mathcal{D}_2$.

Plans de l'espace

Définition

Soient trois points $A$, $B$ et $C$ non alignés (i.e. tels que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires). Alors ces points forment un plan de l'espace qui peut se nommer $(ABC)$.

Caractérisation

On dit qu'un vecteur est normal à un plan s'il est orthogonal à tous les vecteurs de ce plan.

Plusieurs manières existent pour caractériser un plan de l'espace.

Soit $\mathcal{P}$ un plan de l'espace contenant un point $A$ et soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs de l'espace non-colinéaires mais qui appartiennent à $\mathcal{P}$.

On se donne un vecteur de l'espace $\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ orthogonal à $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ (qui est donc normal à $\mathcal{P}$).

Soit $M = (x; y; z)$. On peut caractériser $\mathcal{P}$ de deux manières :

• Caractérisation vectorielle :
  $M \in \mathcal{P} \iff \text{ il existe } \lambda \text{ et } \mu \in \mathbb{R} \text{ tels que } \overrightarrow{AM} = \lambda \overrightarrow{u} + \mu \overrightarrow{v}$.
• Caractérisation par une équation cartésienne :
  Il existe $d \in \mathbb{R}$ tel que $M \in \mathcal{P} \iff ax + by + cz + d = 0$.

Intersections

Soient $\mathcal{P}$ un plan de l'espace et $\mathcal{D}$ une droite de l'espace :

• Si $\mathcal{P}$ contient $\mathcal{D}$, leur intersection est la droite $\mathcal{D}$.
• Si $\mathcal{P}$ ne contient pas $\mathcal{D}$ et que $\mathcal{P}$ et $\mathcal{D}$ sont parallèles, leur intersection est vide.
• Si $\mathcal{P}$ ne contient pas $\mathcal{D}$ et que $\mathcal{P}$ et $\mathcal{D}$ ne sont pas parallèles, leur intersection est un point.

Soient $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ deux plans de l'espace :

• Si $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont confondus, leur intersection est le plan $\mathcal{P}_1$.
• Si $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont parallèles mais pas confondus, leur intersection est vide.
• Si $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ ne sont ni parallèles ni confondus, leur intersection est une droite.

Orthogonalités

Soient $\mathcal{P}$ un plan de l'espace et $\mathcal{D}$ une droite de l'espace. On dit que $\mathcal{D}$ est orthogonale à $\mathcal{P}$ si $\mathcal{D}$ est orthogonale à toutes les droites de ce plan.

Plan médiateur

Soient $\mathcal{P}$ un plan de l'espace, $A$ et $B$ deux points de l'espace.

$\mathcal{P}$ est un plan médiateur si $\mathcal{P}$ est orthogonal au segment $[AB]$ et passe par le milieu de ce segment.