I – Vecteurs de l'espace
1. Lien avec la géométrie plane
Définition
Un vecteur de l'espace est un vecteur possédant trois coordonnées. De même, un point de l'espace est un point possédant trois coordonnées.
Comme dans le plan, un vecteur de l'espace est caractérisé par une norme (sa longueur), un sens, et une direction.
Opérations sur les vecteurs
Soient
- On peut additionner deux vecteurs :
. - On peut multiplier un vecteur par un réel :
.
La relation de Chasles est également disponible dans l'espace.
Relation de Chasles
Soient
2. Coplanarité
Soient
Définition
3. Repérage dans l'espace
Repère de l'espace
Soient
Tout point
On dit alors
Dans toute la suite du chapitre, on se placera dans le repère précédent
Types de repères
- Le repère est dit orthogonal si
, et sont orthogonaux les uns par rapport aux autres. - Le repère est dit normé si
, et sont de norme . - Le repère est dit orthonormé si les deux conditions précédentes sont réunies.
II – Produit scalaire dans l'espace
1. Caractérisation
Soient
Toutes les propriétés du produit scalaire du plan sont par conséquent également applicables dans l'espace. Il vous est donc conseillé de relire le cours de Première sur le produit scalaire.
2. Calcul du produit scalaire
Calcul avec les coordonnées
Soient
On a
Calcul avec un angle
Soient
Calcul un projeté orthogonal
Soient
- Si
alors - Si
alors
Si on ne possède que les normes de nos vecteurs, il est possible d'utiliser la formule de polarisation.
Formule de polarisation
Soient
III – Droites de l'espace
1. Définition
Une droite passant par deux points de l'espace différents
2. Caractérisation
Vecteur directeur d'une droite
Le vecteur directeur d'une droite de l'espace est le vecteur qui porte (ou qui suit) cette droite.
Plusieurs manières existent pour caractériser une droite de l'espace.
Caractérisation d'une droite de l'espace
Soit
Soit
- Caractérisation vectorielle :
où . - Caractérisation par système d'équations paramétriques :
.
3. Intersection de deux droites
Intersection de deux droites
Soient
- Si
et ne sont pas coplanaires, leur intersection est vide. - Si
et sont coplanaires et parallèles mais pas confondues, leur intersection est vide. - Si
et sont coplanaires et confondues, leur intersection est la droite . - Si
et sont coplanaires et non parallèles, leur intersection est un point.
4. Orthogonalité de deux droites
Définition
Deux droites
IV – Plans de l'espace
1. Définition
Soient trois points
2. Caractérisation
Vecteur normal à un plan
On dit qu'un vecteur est normal à un plan s'il est orthogonal à tous les vecteurs de ce plan.
Plusieurs manières existent pour caractériser un plan de l'espace.
Caractérisation d'un plan de l'espace
Soit
On se donne un vecteur de l'espace
Soit
- Caractérisation vectorielle :
. - Caractérisation par une équation cartésienne :
Il existe tel que .
3. Intersections
Intersection d'un plan et d'une droite
Soient
- Si
contient , leur intersection est la droite . - Si
ne contient pas et que et sont parallèles, leur intersection est vide. - Si
ne contient pas et que et ne sont pas parallèles, leur intersection est un point.
Intersection de deux plans
Soient
- Si
et sont confondus, leur intersection est le plan . - Si
et sont parallèles mais pas confondus, leur intersection est vide. - Si
et ne sont ni parallèles ni confondus, leur intersection est une droite.
4. Orthogonalités
Définition
Soient
5. Plan médiateur
Définition
Soient