Terminale > Limites de fonctions > Fiche résumée

Limite d’une fonction en un point

Limite infinie

Fonction tendant vers $+ \infty$ en un point

Soit $f$ une fonction (en classe de Terminale, on se limite aux fonctions réelles) d’ensemble de définition $D_{f}$ . Soit $a$ un réel appartenant à $D_{f}$ ou étant une borne de $D_{f}$ .

On dit que $f (x)$ tend vers $+ \infty$ quand $x$ tend vers $a$ si $f (x)$ est aussi grand que l’on veut pourvu que $x$ soit suffisamment proche de $a$ .

On note ceci $x \to a lim f (x) = + \infty$ .

Il est tout à fait possible d’établir une définition similaire pour une fonction tendant vers $- \infty$ en un point.

Limite finie

Définition

Soit $f$ une fonction d’ensemble de définition $D_{f}$ . Soit $a$ un réel appartenant à $D_{f}$ ou étant une borne de $D_{f}$ .

On dit que $f (x)$ tend vers $ℓ$ quand $x$ tend vers $a$ si $f (x)$ est aussi proche de $ℓ$ que l’on veut pourvu que $x$ soit suffisamment proche de $a$ .

On note ceci $x \to a lim f (x) = ℓ$ .

Limites à gauche et à droite

Définition

Soit $f$ une fonction d’ensemble de définition $D_{f}$ . Soit $a$ un réel appartenant à $D_{f}$ ou étant une borne de $D_{f}$ .

On dit que $f (x)$ admet une limite à gauche quand $x$ tend vers $a$ si $f (x)$ admet une limite quand $x$ tend vers $a$ avec $x < a$ . On la note $x \to a^{-} lim f (x)$ .
On dit que $f (x)$ admet une limite à droite quand $x$ tend vers $a$ si $f (x)$ admet une limite quand $x$ tend vers $a$ avec $x > a$ . On la note $x \to a^{+} lim f (x)$ .

Asymptote verticale

Définition

Soit $f$ une fonction d’ensemble de définition $D_{f}$ . Soit $a$ un réel appartenant à $D_{f}$ ou étant une borne de $D_{f}$ .

Alors si $f (x)$ admet une limite infinie quand $x$ tend vers $a$ , alors la droite d’équation $x = a$ est une asymptote verticale à la courbe représentative de $f$ .

Limite d’une fonction en l’infini

Limite infinie

Fonction tendant vers $+ \infty$ en $+ \infty$

Soit $f$ une fonction d’ensemble de définition $D_{f}$ . On suppose qu’une des bornes de $D_{f}$ est $+ \infty$ .

On dit que $f (x)$ tend vers $+ \infty$ si $f (x)$ est aussi grand que l’on veut pourvu que $x$ soit suffisamment grand.

Comme précédemment, on peut écrire des définitions similaires pour dire que $f$ tend vers $- \infty$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ .

Limite finie

Limite finie en $+ \infty$

Soit $f$ une fonction d’ensemble de définition $D_{f}$ . On suppose qu’une des bornes de $D_{f}$ est $+ \infty$ .

On dit que $f (x)$ tend vers $ℓ$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ si $f (x)$ est aussi proche de $ℓ$ que l’on veut pourvu que $x$ soit suffisamment grand.

De même, on peut écrire une définition semblable quand $x$ tend vers $- \infty$ .

Asymptote horizontale

Définition en $+ \infty$

Soit $f$ une fonction d’ensemble de définition $D_{f}$ . On suppose qu’une des bornes de $D_{f}$ est $+ \infty$ .

Alors si $f (x)$ admet une limite finie $ℓ$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ , alors la droite d’équation $y = ℓ$ est une asymptote horizontale en $+ \infty$ à la courbe représentative de $f$ .

Comme tout ce que l’on a vu avant, il existe une définition semblable en $- \infty$ .

Calcul de limites

Limites de fonctions de référence

Nous allons donner quelques fonctions classiques avec leur limite en quelques points.

Limites de fonctions usuelles

	$a = - \infty$	$a = 0$	$a = + \infty$
$x \to a lim \frac{1}{x}$	$0$	$- \infty$ si $a = 0^{-}$ , $+ \infty$ si $a = 0^{+}$	$0$
$x \to a lim x$	Non définie	$0$ si $a = 0^{+}$	$+ \infty$
$x \to a lim x^{k}$	$- \infty$ si $k$ est impair, $+ \infty$ si $k$ est pair	$0$	$+ \infty$
$x \to a lim e^{x}$	$0$	$e^{0} = 1$	$+ \infty$

Opérations sur les limites

Dans tout ce qui suit, $f$ et $g$ sont deux fonctions de domaines de définition $D_{f}$ et $D_{g}$ . Soit $a$ un nombre réel appartenant à $D_{f} \cap D_{g}$ (ou qui est au moins une borne des deux à la fois). Les tableaux suivants ressemblent beaucoup à ceux qui sont disponibles dans le cours sur les suites donc vous pouvez bien-sûr n’en retenir qu’un des deux, et tenter à partir de là de retrouver l’autre.

Limite d’une somme

Limite d’une somme
Si la limite de $f (x)$ quand $x$ tend vers $a$ est...	$ℓ$	$ℓ$	$ℓ$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$
Et la limite de $g$ quand $x$ tend vers $a$ est...	$ℓ^{'}$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$- \infty$
Alors la limite de $f + g$ quand $x$ tend vers $a$ est...	$ℓ + ℓ^{'}$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	?

Limite d’un produit

Limite d’un produit
Si la limite de $f (x)$ quand $x$ tend vers $a$ est...	$ℓ$	$ℓ > 0$	$ℓ > 0$	$ℓ < 0$	$ℓ < 0$	$+ \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$0$
Et la limite de $g$ quand $x$ tend vers $a$ est...	$ℓ^{'}$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$- \infty$	$\pm \infty$
Alors la limite de $f \times g$ quand $x$ tend vers $a$ est...	$ℓ \times ℓ^{'}$	$+ \infty$	$- \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	?

Limite d’un quotient

Limite d’un quotient
Si la limite de $f (x)$ quand $x$ tend vers $a$ est...	$ℓ$	$ℓ$	$+ \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$- \infty$	$\pm \infty$	$ℓ$	$0$
Et la limite de $g$ quand $x$ tend vers $a$ est...	$ℓ^{'} \neq = 0$	$\pm \infty$	$ℓ^{'} > 0$	$ℓ^{'} < 0$	$ℓ^{'} > 0$	$ℓ^{'} < 0$	$\pm \infty$	$0$	$0$
Alors la limite de $\frac{f}{g}$ quand $x$ tend vers $a$ est...	$\frac{ℓ}{ℓ ^{'}}$	$0$	$+ \infty$	$- \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	?	$\pm \infty$	?

Limite d’une composée

Si on pose $x \to a lim f (x) = b$ et $x \to b lim g (x) = c$ . Alors $x \to lim (g \circ f) (x) = c$ .

Comparaisons et encadrements

Théorèmes de comparaison

Soient deux fonctions $f$ et $g$ .

Si $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ et si $f \leq g$ à partir d’un certain point, alors $x \to + \infty lim g (x) = + \infty$ .
Si $x \to + \infty lim f (x) = - \infty$ et si $f \geq g$ à partir d’un certain point, alors $x \to + \infty lim g (x) = - \infty$ .

Théorème des gendarmes

Soient trois fonctions $f$ , $g$ et $h$ . Si on a $f \leq g \leq h$ à partir d’un certain point, et qu’il existe $ℓ$ tel que $x \to + \infty lim f (x) = ℓ$ et $x \to + \infty lim h (x) = ℓ$ , alors $x \to + \infty lim g (x) = ℓ$ .

Le dernier théorème est la version fonctions du théorèmes des gendarmes (que l’on a vu lors du cours sur les suites). Ils permettent notamment de démontrer une partie du théorème des croissances comparées.

Croissances comparées

Pour tout $n \in N$ : $x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{n}} = + \infty$

Limite d’une fonction en un point

Limite infinie

Fonction tendant vers +∞ en un point

Limite finie

Définition

Limites à gauche et à droite

Définition

Asymptote verticale

Définition

Limite d’une fonction en l’infini

Limite infinie

Fonction tendant vers +∞ en +∞

Limite finie

Limite finie en +∞

Asymptote horizontale

Définition en +∞

Calcul de limites

Limites de fonctions de référence

Limites de fonctions usuelles

Opérations sur les limites

Limite d’une somme

Limite d’un produit

Limite d’un quotient

Limite d’une composée

Comparaisons et encadrements

Théorèmes de comparaison

Théorème des gendarmes

Croissances comparées

Fonction tendant vers $+ \infty$ en un point

Fonction tendant vers $+ \infty$ en $+ \infty$

Limite finie en $+ \infty$

Définition en $+ \infty$