Limite d'une fonction en un point

Limite infinie

Soit $f$ une fonction (en classe de Terminale, on se limite aux fonctions réelles) d'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$. Soit $a$ un réel appartenant à $\mathcal{D}_f$ ou étant une borne de $\mathcal{D}_f$.

On dit que $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $a$ si $f(x)$ est aussi grand que l'on veut pourvu que $x$ soit suffisamment proche de $a$.

On note ceci $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = +\infty$.

La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x) = \frac{1}{x^2}$, tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $0$.

Il est tout-à-fait possible d'établir une définition similaire pour une fonction tendant vers $-\infty$ en un point.

En reprenant les notations précédentes, on dit que $f(x)$ tend vers $-\infty$ quand $x$ tend vers $a$ si $f(x)$ est aussi petit que l'on veut pourvu que $x$ suffisamment proche de $a$.

On note ceci $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = -\infty$.

La fonction $f$ définie sur $]-\infty, 3[ \, \cup \, ]3, +\infty[$ par $f(x) = -\frac{1}{x^2-6x+9}$, tend vers $-\infty$ quand $x$ tend vers $3$.

Limite finie

Soit $f$ une fonction d'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$. Soit $a$ un réel appartenant à $\mathcal{D}_f$ ou étant une borne de $\mathcal{D}_f$.

On dit que $f(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $a$ si $f(x)$ est aussi proche de $\ell$ que l'on veut pourvu que $x$ soit suffisamment proche de $a$.

On note ceci $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \ell$.

La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$, tend vers $1$ quand $x$ tend vers $0$.

Une petite remarque cependant : cette limite n'est pas triviale à démontrer. On peut cependant en proposer une preuve à l'aide de la dérivée de la fonction $\sin$ (qui est $\cos$) : $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x) - \sin(0)}{x - 0} = \sin'(0) = \cos(0) = 1$.

Limites à gauche et à droite

Soit $f$ une fonction d'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$. Soit $a$ un réel appartenant à $\mathcal{D}_f$ ou étant une borne de $\mathcal{D}_f$.

  • On dit que $f(x)$ admet une limite à gauche quand $x$ tend vers $a$ si $f(x)$ admet une limite quand $x$ tend vers $a$ avec $x \lt a$. On la note $\lim_{x \rightarrow a^-} f(x)$.
  • On dit que $f(x)$ admet une limite à droite quand $x$ tend vers $a$ si $f(x)$ admet une limite quand $x$ tend vers $a$ avec $x \gt a$. On la note $\lim_{x \rightarrow a^+} f(x)$.

La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x) = \frac{1}{x}$, admet deux limites différentes à gauche et à droite de $0$ :

  • $\lim_{x \rightarrow 0^-} h(x) = -\infty$
  • $\lim_{x \rightarrow 0^+} h(x) = +\infty$

Asymptote verticale

Soit $f$ une fonction d'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$. Soit $a$ un réel appartenant à $\mathcal{D}_f$ ou étant une borne de $\mathcal{D}_f$.

Alors si $f(x)$ admet une limite infinie quand $x$ tend vers $a$, alors la droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale à la courbe représentative de $f$.

En reprenant les exemples précédents :

  • Les courbe représentatives des fonctions $x \mapsto \frac{1}{x}$ et $x \mapsto \frac{1}{x^2}$ admettent toutes deux une asymptote verticale d'équation $x = 0$.
  • La courbe de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x^2-6x+9}$ admet une asymptote verticale d'équation $x = 3$.

Limite d'une fonction en l'infini

Limite infinie

Soit $f$ une fonction d'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$. On suppose qu'une des bornes de $\mathcal{D}_f$ est $+\infty$.

On dit que $f(x)$ tend vers $+\infty$ si $f(x)$ est aussi grand que l'on veut pourvu que $x$ soit suffisamment grand.

Comme précédemment, on peut écrire des définitions similaires pour dire que $f$ tend vers $-\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

En reprenant les notations précédentes, on dit que $f(x)$ tend vers $-\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ si $f(x)$ est aussi petit que l'on veut pourvu que $x$ soit suffisamment grand.

Pour avoir les définitions quand $x$ tend vers $-\infty$, il suffit de remplacer $x$ suffisamment grand par $x$ suffisamment petit et il faut qu'une des bornes de $\mathcal{D}_f$ soit $-\infty$.

La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x+1$, tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$. Cependant, la fonction $-f : x \mapsto -2x - 1$ tend vers $-\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

Limite finie

Soit $f$ une fonction d'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$. On suppose qu'une des bornes de $\mathcal{D}_f$ est $+\infty$.

On dit que $f(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $+\infty$ si $f(x)$ est aussi proche de $\ell$ que l'on veut pourvu que $x$ soit suffisamment grand.

De même, on peut écrire une définition semblable quand $x$ tend vers $-\infty$.

En reprenant les notation précédentes et en supposant qu'une des bornes de $\mathcal{D}_f$ soit $-\infty$, on dit que $f(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $-\infty$ si $f(x)$ est aussi proche de $\ell$ que l'on veut pourvu que $x$ soit suffisamment petit.

La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^+$ par $f(x) = \frac{9x}{3x+1}$ tend vers $3$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

Asymptote horizontale

Soit $f$ une fonction d'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$. On suppose qu'une des bornes de $\mathcal{D}_f$ est $+\infty$.

Alors si $f(x)$ admet une limite finie $\ell$ quand $x$ tend vers $+\infty$, alors la droite d'équation $y = \ell$ est une asymptote horizontale en $+\infty$ à la courbe représentative de $f$.

Comme tout ce que l'on a vu avant, il existe une définition semblable en $-\infty$.

Soit $f$ une fonction d'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$. On suppose qu'une des bornes de $\mathcal{D}_f$ est $-\infty$.

Alors si $f(x)$ admet une limite finie $\ell$ quand $x$ tend vers $-\infty$, alors la droite d'équation $y = \ell$ est une asymptote horizontale en $-\infty$ à la courbe représentative de $f$.

En reprenant l'exemple précédent, la courbe représentative de la fonction $x \mapsto \frac{9x}{3x+1}$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=3$ en $+\infty$.

De plus, elle admet une asymptote verticale d'équation $x=-\frac{1}{3}$.

Calcul de limites

Limites de fonctions de référence

Nous allons donner quelques fonctions classiques avec leur limite en quelques points.

$a = -\infty$$a = 0$$a = +\infty$
$\lim_{x \rightarrow a} \frac{1}{x}$$0$$-\infty$ si $a = 0^-$, $+\infty$ si $a = 0^+$$0$
$\lim_{x \rightarrow a} \sqrt{x}$Non définie$0$ si $a = 0^+$$+\infty$
$\lim_{x \rightarrow a} x^k$$-\infty$ si $k$ est impair, $+\infty$ si $k$ est pair$0$$+\infty$
$\lim_{x \rightarrow a} e^x$$0$$e^0 = 1$$+\infty$

On rappelle que $0^-$ signifie tend vers $0$ mais en restant inférieur à $0$ et $0^+$ signifie tend vers $0$ mais en restant supérieur à $0$.

Opérations sur les limites

Dans tout ce qui suit, $f$ et $g$ sont deux fonctions de domaines de définition $\mathcal{D}_f$ et $\mathcal{D}_g$. Soit $a$ un nombre réel appartenant à $\mathcal{D}_f \, \cap \, \mathcal{D}_g$ (ou qui est au moins une borne des deux à la fois). Les tableaux suivants ressemblent beaucoup à ceux qui sont disponibles dans le cours sur les suites donc vous pouvez bien-sûr n'en retenir qu'un des deux, et tenter à partir de là de retrouver l'autre.

Limite d'une somme
Si la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $a$ est...$\ell$$\ell$$\ell$$+\infty$$-\infty$$+\infty$
Et la limite de $g$ quand $x$ tend vers $a$ est...$\ell'$$+\infty$$-\infty$$+\infty$$-\infty$$-\infty$
Alors la limite de $f + g$ quand $x$ tend vers $a$ est...$\ell + \ell'$$+\infty$$-\infty$$+\infty$$-\infty$?
Limite d'un produit
Si la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $a$ est...$\ell$$\ell \gt 0$$\ell \gt 0$$\ell \lt 0$$\ell \lt 0$$+\infty$$+\infty$$-\infty$$0$
Et la limite de $g$ quand $x$ tend vers $a$ est...$\ell'$$+\infty$$-\infty$$+\infty$$-\infty$$+\infty$$-\infty$$-\infty$$\pm \infty$
Alors la limite de $f \times g$ quand $x$ tend vers $a$ est...$\ell \times \ell'$$+\infty$$-\infty$$-\infty$$+\infty$$+\infty$$-\infty$$+\infty$?
Limite d'un quotient
Si la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $a$ est...$\ell$$\ell$$+\infty$$+\infty$$-\infty$$-\infty$$\pm \infty$$\ell$$0$
Et la limite de $g$ quand $x$ tend vers $a$ est...$\ell' \neq 0$$\pm \infty$$\ell' \gt 0$$\ell' \lt 0$$\ell' \gt 0$$\ell' \lt 0$$\pm \infty$$0^+_-$$0$
Alors la limite de $\frac{f}{g}$ quand $x$ tend vers $a$ est...$\displaystyle{\frac{\ell}{\ell'}}$$0$$+\infty$$-\infty$$-\infty$$+\infty$?$\pm \infty$?

Si on pose $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = b$ et $\lim_{x \rightarrow b} g(x) = c$. Alors $\lim_{x \rightarrow} (g \circ f)(x) = c$.

À noter qu'il n'existe que 4 formes indéterminées : $+\infty - \infty$, $0 \times \pm \infty$, $\frac{\pm \infty}{\pm \infty}$ et $\frac{0}{0}$.

Comparaisons et encadrements

Soient deux fonctions $f$ et $g$.

  • Si $\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty$ et si $f \leq g$ à partir d'un certain point, alors $\lim_{x \rightarrow +\infty} g(x) = +\infty$.
  • Si $\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = -\infty$ et si $f \geq g$ à partir d'un certain point, alors $\lim_{x \rightarrow +\infty} g(x) = -\infty$.

Soient trois fonctions $f$, $g$ et $h$. Si on a $f \leq g \leq h$ à partir d'un certain point, et qu'il existe $\ell$ tel que $\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \ell$ et $\lim_{x \rightarrow +\infty} h(x) = \ell$, alors $\lim_{x \rightarrow +\infty} g(x) = \ell$.

Utilisons ce théorème pour montrer que la fonction $f : x \mapsto \frac{\sin(x)}{x}$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

Tout d'abord, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $-1 \leq \sin(x) \leq 1$.

Donc, pour tout $x \gt 0$, $\frac{-1}{x} \leq \underbrace{\frac{\sin(x)}{x}}_{= f(x)} \leq \frac{1}{x}$.

Comme, $\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{-1}{x} = 0$ et $\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{x} = 0$, alors $\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = 0$.

Le dernier théorème est la version fonction du théorèmes des gendarmes (que l'on a vu lors du cours sur les suites. Ils permettent notamment de démontrer une partie du théorème des croissances comparées.

$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Commençons tout d'abord par montrer que pour tout $x \geq 0$, $e^x \geq 1 + x$. Pour cela, posons $f : x \mapsto e^x - 1 - x$. On a pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f'(x) = e^x - 1$. Donc $f'(x)$ est positif si et seulement si $e^x - 1 \geq 0$, c'est-à-dire $e^x \geq 1$.

En regardant le graphique de la fonction exponentielle, on trouve que cela est équivalent à $x \geq 0$.

Notre fonction est donc croissante sur l'intervalle $[0, +\infty[$, et son minimum est donc atteint en $x = 0$ et vaut $f(0) = 0$. Ainsi, pour tout $x \geq 0$, $f(x) \geq 0 \iff e^x - 1 - x \geq 0 \iff e^x \geq 1 + x$ : ce que l'on cherchait.

Pour conclure, on utilise une petite astuce. Soit $n \in \mathbb{N}$ :

D'après ce que l'on vient de faire, pour tout $x \gt 0$, $e^{\frac{x}{n+1}} \geq 1 + \frac{x}{n+1} \gt \frac{x}{n+1}$. Ainsi, en mettant à la puissance $n + 1$ (qui ne change pas le sens de l'inégalité car les deux membres sont positifs), on a :

$e^x \gt (\frac{x}{n+1})^{n+1} = \frac{x^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}$

Maintenant, on divise les deux côtés par $x^n$ (qui est un nombre strictement positif) et on obtient :

$\frac{e^x}{x^n} \gt \frac{x}{(n+1)^{n+1}}$

Or, le membre de droite tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ donc le membre de gauche aussi d'après les théorèmes de comparaison.

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Anonyme

limite et continuité

25/11/2020 15:00

Skyost (Modérateur)

Les exercices sont en projet, mais je dois d’abord terminer certaines choses sur le site avant de m’y atteler. Je suis tout seul pour maintenir le site ainsi que son contenu (et comme vous pouvez l’imaginer, il faut pas mal de temps pour concevoir des exercices pour chaque cours).

17/11/2020 10:59

seka

bonsoir j’ai bien compris mais il y a d’exercice pour bien comprendre

17/11/2020 00:35