Terminale > Limites de fonctions

Limite infinie

Fonction tendant vers $+ \infty$ en un point

Soit $f$ une fonction (en classe de Terminale, on se limite aux fonctions réelles) d’ensemble de définition $D_{f}$ . Soit $a$ un réel appartenant à $D_{f}$ ou étant une borne de $D_{f}$ .

On dit que $f (x)$ tend vers $+ \infty$ quand $x$ tend vers $a$ si $f (x)$ est aussi grand que l’on veut pourvu que $x$ soit suffisamment proche de $a$ .

On note ceci $x \to a lim f (x) = + \infty$ .

Exemple

La fonction $f$ définie sur $R^{*}$ par $f (x) = \frac{1}{x ^{2}}$ , tend vers $+ \infty$ quand $x$ tend vers $0$ .

Il est tout à fait possible d’établir une définition similaire pour une fonction tendant vers $- \infty$ en un point.

Fonction tendant vers $- \infty$ en un point

En reprenant les notations précédentes, on dit que $f (x)$ tend vers $- \infty$ quand $x$ tend vers $a$ si $f (x)$ est aussi petit que l’on veut pourvu que $x$ suffisamment proche de $a$ .

On note ceci $x \to a lim f (x) = - \infty$ .

Exemple

La fonction $f$ définie sur $] - \infty, 3 [\cup] 3, + \infty [$ par $f (x) = - \frac{1}{x ^{2} - 6 x + 9}$ , tend vers $- \infty$ quand $x$ tend vers $3$ .

Limite finie

Définition

Soit $f$ une fonction d’ensemble de définition $D_{f}$ . Soit $a$ un réel appartenant à $D_{f}$ ou étant une borne de $D_{f}$ .

On dit que $f (x)$ tend vers $ℓ$ quand $x$ tend vers $a$ si $f (x)$ est aussi proche de $ℓ$ que l’on veut pourvu que $x$ soit suffisamment proche de $a$ .

On note ceci $x \to a lim f (x) = ℓ$ .

Exemple

La fonction $f$ définie sur $R^{*}$ par $f (x) = \frac{s i n ( x )}{x}$ , tend vers $1$ quand $x$ tend vers $0$ .

Une petite remarque cependant : cette limite n’est pas triviale à démontrer. On peut cependant en proposer une preuve à l’aide de la dérivée de la fonction $sin$ (qui est $cos$ ) : $x \to 0 lim \frac{s i n ( x )}{x} = x \to 0 lim \frac{s i n ( x ) - s i n ( 0 )}{x - 0} = sin^{'} (0) = cos (0) = 1$ .

Limites à gauche et à droite

Définition

Soit $f$ une fonction d’ensemble de définition $D_{f}$ . Soit $a$ un réel appartenant à $D_{f}$ ou étant une borne de $D_{f}$ .

On dit que $f (x)$ admet une limite à gauche quand $x$ tend vers $a$ si $f (x)$ admet une limite quand $x$ tend vers $a$ avec $x < a$ . On la note $x \to a^{-} lim f (x)$ .
On dit que $f (x)$ admet une limite à droite quand $x$ tend vers $a$ si $f (x)$ admet une limite quand $x$ tend vers $a$ avec $x > a$ . On la note $x \to a^{+} lim f (x)$ .

Exemple

La fonction $f$ définie sur $R^{*}$ par $f (x) = \frac{1}{x}$ , admet deux limites différentes à gauche et à droite de $0$ :

$x \to 0^{-} lim h (x) = - \infty$
$x \to 0^{+} lim h (x) = + \infty$

Asymptote verticale

Définition

Soit $f$ une fonction d’ensemble de définition $D_{f}$ . Soit $a$ un réel appartenant à $D_{f}$ ou étant une borne de $D_{f}$ .

Alors si $f (x)$ admet une limite infinie quand $x$ tend vers $a$ , alors la droite d’équation $x = a$ est une asymptote verticale à la courbe représentative de $f$ .

Exemple

En reprenant les exemples précédents :

Les courbes représentatives des fonctions $x \mapsto \frac{1}{x}$ et $x \mapsto \frac{1}{x ^{2}}$ admettent toutes deux une asymptote verticale d’équation $x = 0$ .
La courbe de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x ^{2} - 6 x + 9}$ admet une asymptote verticale d’équation $x = 3$ .

Limite infinie

Fonction tendant vers $+ \infty$ en $+ \infty$

Soit $f$ une fonction d’ensemble de définition $D_{f}$ . On suppose qu’une des bornes de $D_{f}$ est $+ \infty$ .

On dit que $f (x)$ tend vers $+ \infty$ si $f (x)$ est aussi grand que l’on veut pourvu que $x$ soit suffisamment grand.

Comme précédemment, on peut écrire des définitions similaires pour dire que $f$ tend vers $- \infty$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ .

Fonction tendant vers $- \infty$ en $+ \infty$

En reprenant les notations précédentes, on dit que $f (x)$ tend vers $- \infty$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ si $f (x)$ est aussi petit que l’on veut pourvu que $x$ soit suffisamment grand.

Fonction tendant vers $\pm \infty$ en $- \infty$

Pour avoir les définitions quand $x$ tend vers $- \infty$ , il suffit de remplacer $x$ suffisamment grand par $x$ suffisamment petit et il faut qu’une des bornes de $D_{f}$ soit $- \infty$ .

Exemple

La fonction $f$ définie sur $R$ par $f (x) = 2 x + 1$ , tend vers $+ \infty$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ . Cependant, la fonction $- f : x \mapsto - 2 x - 1$ tend vers $- \infty$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ .

Limite finie

Limite finie en $+ \infty$

Soit $f$ une fonction d’ensemble de définition $D_{f}$ . On suppose qu’une des bornes de $D_{f}$ est $+ \infty$ .

On dit que $f (x)$ tend vers $ℓ$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ si $f (x)$ est aussi proche de $ℓ$ que l’on veut pourvu que $x$ soit suffisamment grand.

De même, on peut écrire une définition semblable quand $x$ tend vers $- \infty$ .

Limite finie en $- \infty$

En reprenant les notations précédentes et en supposant qu’une des bornes de $D_{f}$ soit $- \infty$ , on dit que $f (x)$ tend vers $ℓ$ quand $x$ tend vers $- \infty$ si $f (x)$ est aussi proche de $ℓ$ que l’on veut pourvu que $x$ soit suffisamment petit.

Exemple

La fonction $f$ définie sur $R^{+}$ par $f (x) = \frac{9 x}{3 x + 1}$ tend vers $3$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ .

Asymptote horizontale

Définition en $+ \infty$

Soit $f$ une fonction d’ensemble de définition $D_{f}$ . On suppose qu’une des bornes de $D_{f}$ est $+ \infty$ .

Alors si $f (x)$ admet une limite finie $ℓ$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ , alors la droite d’équation $y = ℓ$ est une asymptote horizontale en $+ \infty$ à la courbe représentative de $f$ .

Comme tout ce que l’on a vu avant, il existe une définition semblable en $- \infty$ .

Définition en $- \infty$

Soit $f$ une fonction d’ensemble de définition $D_{f}$ . On suppose qu’une des bornes de $D_{f}$ est $- \infty$ .

Alors si $f (x)$ admet une limite finie $ℓ$ quand $x$ tend vers $- \infty$ , alors la droite d’équation $y = ℓ$ est une asymptote horizontale en $- \infty$ à la courbe représentative de $f$ .

Exemple

En reprenant l’exemple précédent, la courbe représentative de la fonction $x \mapsto \frac{9 x}{3 x + 1}$ admet une asymptote horizontale d’équation $y = 3$ en $+ \infty$ .

De plus, elle admet une asymptote verticale d’équation $x = - \frac{1}{3}$ .

Limites de fonctions de référence

Nous allons donner quelques fonctions classiques avec leur limite en quelques points.

Limites de fonctions usuelles

	$a = - \infty$	$a = 0$	$a = + \infty$
$x \to a lim \frac{1}{x}$	$0$	$- \infty$ si $a = 0^{-}$ , $+ \infty$ si $a = 0^{+}$	$0$
$x \to a lim x$	Non définie	$0$ si $a = 0^{+}$	$+ \infty$
$x \to a lim x^{k}$	$- \infty$ si $k$ est impair, $+ \infty$ si $k$ est pair	$0$	$+ \infty$
$x \to a lim e^{x}$	$0$	$e^{0} = 1$	$+ \infty$

Rappel

On rappelle que $0^{-}$ signifie tend vers $0$ mais en restant inférieur à $0$ et $0^{+}$ signifie tend vers $0$ mais en restant supérieur à $0$ .

Opérations sur les limites

Dans tout ce qui suit, $f$ et $g$ sont deux fonctions de domaines de définition $D_{f}$ et $D_{g}$ . Soit $a$ un nombre réel appartenant à $D_{f} \cap D_{g}$ (ou qui est au moins une borne des deux à la fois). Les tableaux suivants ressemblent beaucoup à ceux qui sont disponibles dans le cours sur les suites donc vous pouvez bien-sûr n’en retenir qu’un des deux, et tenter à partir de là de retrouver l’autre.

Limite d’une somme

Limite d’une somme
Si la limite de $f (x)$ quand $x$ tend vers $a$ est...	$ℓ$	$ℓ$	$ℓ$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$
Et la limite de $g$ quand $x$ tend vers $a$ est...	$ℓ^{'}$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$- \infty$
Alors la limite de $f + g$ quand $x$ tend vers $a$ est...	$ℓ + ℓ^{'}$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	?

Limite d’un produit

Limite d’un produit
Si la limite de $f (x)$ quand $x$ tend vers $a$ est...	$ℓ$	$ℓ > 0$	$ℓ > 0$	$ℓ < 0$	$ℓ < 0$	$+ \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$0$
Et la limite de $g$ quand $x$ tend vers $a$ est...	$ℓ^{'}$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$- \infty$	$\pm \infty$
Alors la limite de $f \times g$ quand $x$ tend vers $a$ est...	$ℓ \times ℓ^{'}$	$+ \infty$	$- \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	?

Limite d’un quotient

Limite d’un quotient
Si la limite de $f (x)$ quand $x$ tend vers $a$ est...	$ℓ$	$ℓ$	$+ \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$- \infty$	$\pm \infty$	$ℓ$	$0$
Et la limite de $g$ quand $x$ tend vers $a$ est...	$ℓ^{'} \neq = 0$	$\pm \infty$	$ℓ^{'} > 0$	$ℓ^{'} < 0$	$ℓ^{'} > 0$	$ℓ^{'} < 0$	$\pm \infty$	$0$	$0$
Alors la limite de $\frac{f}{g}$ quand $x$ tend vers $a$ est...	$\frac{ℓ}{ℓ ^{'}}$	$0$	$+ \infty$	$- \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	?	$\pm \infty$	?

Limite d’une composée

Si on pose $x \to a lim f (x) = b$ et $x \to b lim g (x) = c$ . Alors $x \to lim (g \circ f) (x) = c$ .

Formes indéterminées

À noter qu’il n’existe que 4 formes indéterminées : $+ \infty - \infty$ , $0 \times \pm \infty$ , $\frac{\pm \infty}{\pm \infty}$ et $\frac{0}{0}$ .

Comparaisons et encadrements

Théorèmes de comparaison

Soient deux fonctions $f$ et $g$ .

Si $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ et si $f \leq g$ à partir d’un certain point, alors $x \to + \infty lim g (x) = + \infty$ .
Si $x \to + \infty lim f (x) = - \infty$ et si $f \geq g$ à partir d’un certain point, alors $x \to + \infty lim g (x) = - \infty$ .

Théorème des gendarmes

Soient trois fonctions $f$ , $g$ et $h$ . Si on a $f \leq g \leq h$ à partir d’un certain point, et qu’il existe $ℓ$ tel que $x \to + \infty lim f (x) = ℓ$ et $x \to + \infty lim h (x) = ℓ$ , alors $x \to + \infty lim g (x) = ℓ$ .

Exemple

Utilisons ce théorème pour montrer que la fonction $f : x \mapsto \frac{s i n ( x )}{x}$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ .

Tout d’abord, pour tout $x \in R$ , $- 1 \leq sin (x) \leq 1$ .

Donc, pour tout $x > 0$ , $\frac{- 1}{x} \leq = f (x) \frac{sin ( x )}{x} \leq \frac{1}{x}$ .

Comme, $x \to + \infty lim \frac{- 1}{x} = 0$ et $x \to + \infty lim \frac{1}{x} = 0$ , alors $x \to + \infty lim f (x) = 0$ .

Le dernier théorème est la version fonctions du théorèmes des gendarmes (que l’on a vu lors du cours sur les suites). Ils permettent notamment de démontrer une partie du théorème des croissances comparées.

Croissances comparées

Pour tout $n \in N$ : $x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{n}} = + \infty$

Démonstration

Croissances comparées

Commençons tout d’abord par montrer que pour tout $x \geq 0$ , $e^{x} \geq 1 + x$ . Pour cela, posons $f : x \mapsto e^{x} - 1 - x$ . On a pour tout $x \in R$ , $f^{'} (x) = e^{x} - 1$ . Donc $f^{'} (x)$ est positif si et seulement si $e^{x} - 1 \geq 0$ , c’est-à-dire $e^{x} \geq 1$ .

En regardant le graphique de la fonction exponentielle, on trouve que cela est équivalent à $x \geq 0$ .

Notre fonction est donc croissante sur l’intervalle $[0, + \infty [$ , et son minimum est donc atteint en $x = 0$ et vaut $f (0) = 0$ . Ainsi, pour tout $x \geq 0$ , $f (x) \geq 0 ⟺ e^{x} - 1 - x \geq 0 ⟺ e^{x} \geq 1 + x$ : ce que l’on cherchait.

Pour conclure, on utilise une petite astuce. Soit $n \in N$ :

D’après ce que l’on vient de faire, pour tout $x > 0$ , $e^{\frac{x}{n + 1}} \geq 1 + \frac{x}{n + 1} > \frac{x}{n + 1}$ . Ainsi, en mettant à la puissance $n + 1$ (qui ne change pas le sens de l’inégalité car les deux membres sont positifs), on a :

$e^{x} > (\frac{x}{n + 1})^{n + 1} = \frac{x ^{n + 1}}{( n + 1 ) ^{n + 1}}$ Maintenant, on divise les deux côtés par $x^{n}$ (qui est un nombre strictement positif) et on obtient :

$\frac{e ^{x}}{x ^{n}} > \frac{x}{( n + 1 ) ^{n + 1}}$

Or, le membre de droite tend vers $+ \infty$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ donc le membre de gauche aussi d’après les théorèmes de comparaison.

Limite d’une fonction en un point

Limite infinie

Fonction tendant vers +∞ en un point

Exemple

Fonction tendant vers −∞ en un point

Exemple

Limite finie

Définition

Exemple

Limites à gauche et à droite

Définition

Exemple

Asymptote verticale

Définition

Exemple

Limite d’une fonction en l’infini

Limite infinie

Fonction tendant vers +∞ en +∞

Fonction tendant vers −∞ en +∞

Fonction tendant vers ±∞ en −∞

Exemple

Limite finie

Limite finie en +∞

Limite finie en −∞

Exemple

Asymptote horizontale

Définition en +∞

Définition en −∞

Exemple

Calcul de limites

Limites de fonctions de référence

Limites de fonctions usuelles

Rappel

Opérations sur les limites

Limite d’une somme

Limite d’un produit

Limite d’un quotient

Limite d’une composée

Formes indéterminées

Comparaisons et encadrements

Théorèmes de comparaison

Théorème des gendarmes

Exemple

Croissances comparées

Croissances comparées

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Fonction tendant vers $+ \infty$ en un point

Fonction tendant vers $- \infty$ en un point

Fonction tendant vers $+ \infty$ en $+ \infty$

Fonction tendant vers $- \infty$ en $+ \infty$

Fonction tendant vers $\pm \infty$ en $- \infty$

Limite finie en $+ \infty$

Limite finie en $- \infty$

Définition en $+ \infty$

Définition en $- \infty$