Limite d’une fonction en un point

Limite infinie

Fonction tendant vers en un point

Soit une fonction (en classe de Terminale, on se limite aux fonctions réelles) d’ensemble de définition . Soit un réel appartenant à ou étant une borne de .

On dit que tend vers quand tend vers si est aussi grand que l’on veut pourvu que soit suffisamment proche de .

On note ceci .

Exemple

La fonction définie sur par , tend vers quand tend vers .

Il est tout à fait possible d’établir une définition similaire pour une fonction tendant vers en un point.

Fonction tendant vers en un point

En reprenant les notations précédentes, on dit que tend vers quand tend vers si est aussi petit que l’on veut pourvu que suffisamment proche de .

On note ceci .

Exemple

La fonction définie sur par , tend vers quand tend vers .

Limite finie

Définition

Soit une fonction d’ensemble de définition . Soit un réel appartenant à ou étant une borne de .

On dit que tend vers quand tend vers si est aussi proche de que l’on veut pourvu que soit suffisamment proche de .

On note ceci .

Exemple

La fonction définie sur par , tend vers quand tend vers .

Une petite remarque cependant : cette limite n’est pas triviale à démontrer. On peut cependant en proposer une preuve à l’aide de la dérivée de la fonction (qui est ) : .

Limites à gauche et à droite

Définition

Soit une fonction d’ensemble de définition . Soit un réel appartenant à ou étant une borne de .

  • On dit que admet une limite à gauche quand tend vers si admet une limite quand tend vers avec . On la note .

  • On dit que admet une limite à droite quand tend vers si admet une limite quand tend vers avec . On la note .

Exemple

La fonction définie sur par , admet deux limites différentes à gauche et à droite de :

Asymptote verticale

Définition

Soit une fonction d’ensemble de définition . Soit un réel appartenant à ou étant une borne de .

Alors si admet une limite infinie quand tend vers , alors la droite d’équation est une asymptote verticale à la courbe représentative de .

Exemple

En reprenant les exemples précédents :

  • Les courbes représentatives des fonctions et admettent toutes deux une asymptote verticale d’équation .

  • La courbe de la fonction admet une asymptote verticale d’équation .

Limite d’une fonction en l’infini

Limite infinie

Fonction tendant vers en

Soit une fonction d’ensemble de définition . On suppose qu’une des bornes de est .

On dit que tend vers si est aussi grand que l’on veut pourvu que soit suffisamment grand.

Comme précédemment, on peut écrire des définitions similaires pour dire que tend vers quand tend vers .

Fonction tendant vers en

En reprenant les notations précédentes, on dit que tend vers quand tend vers si est aussi petit que l’on veut pourvu que soit suffisamment grand.

Fonction tendant vers en

Pour avoir les définitions quand tend vers , il suffit de remplacer suffisamment grand par suffisamment petit et il faut qu’une des bornes de soit .

Exemple

La fonction définie sur par , tend vers quand tend vers . Cependant, la fonction tend vers quand tend vers .

Limite finie

Limite finie en

Soit une fonction d’ensemble de définition . On suppose qu’une des bornes de est .

On dit que tend vers quand tend vers si est aussi proche de que l’on veut pourvu que soit suffisamment grand.

De même, on peut écrire une définition semblable quand tend vers .

Limite finie en

En reprenant les notations précédentes et en supposant qu’une des bornes de soit , on dit que tend vers quand tend vers si est aussi proche de que l’on veut pourvu que soit suffisamment petit.

Exemple

La fonction définie sur par tend vers quand tend vers .

Asymptote horizontale

Définition en

Soit une fonction d’ensemble de définition . On suppose qu’une des bornes de est .

Alors si admet une limite finie quand tend vers , alors la droite d’équation est une asymptote horizontale en à la courbe représentative de .

Comme tout ce que l’on a vu avant, il existe une définition semblable en .

Définition en

Soit une fonction d’ensemble de définition . On suppose qu’une des bornes de est .

Alors si admet une limite finie quand tend vers , alors la droite d’équation est une asymptote horizontale en à la courbe représentative de .

Exemple

En reprenant l’exemple précédent, la courbe représentative de la fonction admet une asymptote horizontale d’équation en .

De plus, elle admet une asymptote verticale d’équation .

Calcul de limites

Limites de fonctions de référence

Nous allons donner quelques fonctions classiques avec leur limite en quelques points.

Limites de fonctions usuelles

si , si
Non définie si
si est impair, si est pair

Rappel

On rappelle que signifie tend vers mais en restant inférieur à et signifie tend vers mais en restant supérieur à .

Opérations sur les limites

Dans tout ce qui suit, et sont deux fonctions de domaines de définition et . Soit un nombre réel appartenant à (ou qui est au moins une borne des deux à la fois). Les tableaux suivants ressemblent beaucoup à ceux qui sont disponibles dans le cours sur les suites donc vous pouvez bien-sûr n’en retenir qu’un des deux, et tenter à partir de là de retrouver l’autre.

Limite d’une somme

Limite d’une somme
Si la limite de quand tend vers est...
Et la limite de quand tend vers est...
Alors la limite de quand tend vers est... ?

Limite d’un produit

Limite d’un produit
Si la limite de quand tend vers est...
Et la limite de quand tend vers est...
Alors la limite de quand tend vers est... ?

Limite d’un quotient

Limite d’un quotient
Si la limite de quand tend vers est...
Et la limite de quand tend vers est...
Alors la limite de quand tend vers est... ? ?

Limite d’une composée

Si on pose et . Alors .

Formes indéterminées

À noter qu’il n’existe que 4 formes indéterminées : , , et .

Comparaisons et encadrements

Théorèmes de comparaison

Soient deux fonctions et .

  • Si et si à partir d’un certain point, alors .

  • Si et si à partir d’un certain point, alors .

Théorème des gendarmes

Soient trois fonctions , et . Si on a à partir d’un certain point, et qu’il existe tel que et , alors .

Exemple

Utilisons ce théorème pour montrer que la fonction tend vers quand tend vers .

Tout d’abord, pour tout , .

Donc, pour tout , .

Comme, et , alors .

Le dernier théorème est la version fonctions du théorèmes des gendarmes (que l’on a vu lors du cours sur les suites). Ils permettent notamment de démontrer une partie du théorème des croissances comparées.

Croissances comparées

Pour tout :

Croissances comparées

Commençons tout d’abord par montrer que pour tout , . Pour cela, posons . On a pour tout , . Donc est positif si et seulement si , c’est-à-dire .

En regardant le graphique de la fonction exponentielle, on trouve que cela est équivalent à .

Notre fonction est donc croissante sur l’intervalle , et son minimum est donc atteint en et vaut . Ainsi, pour tout , : ce que l’on cherchait.

Pour conclure, on utilise une petite astuce. Soit :

D’après ce que l’on vient de faire, pour tout , . Ainsi, en mettant à la puissance (qui ne change pas le sens de l’inégalité car les deux membres sont positifs), on a : Maintenant, on divise les deux côtés par (qui est un nombre strictement positif) et on obtient : Or, le membre de droite tend vers quand tend vers donc le membre de gauche aussi d’après les théorèmes de comparaison.

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Anonyme

Anonyme

sens exercice comment comprendre le cour

11/11/2023 19:22:12
Skyost

Skyost Modérateur

Tout le cours est disponible ici. N'hésitez pas à demander si vous avez des questions sur un point particulier.

15/08/2021 10:07:13
Anonyme

Anonyme

eexpliqué le cours de limite

14/08/2021 05:38:12
Anonyme

Anonyme

oui oui

12/02/2021 11:35:02
Anonyme cc

Anonyme cc

شكران

16/01/2021 19:50:59
Anonyme

Anonyme

limite et continuité

25/11/2020 14:00:45
Skyost

Skyost Modérateur

Les exercices sont en projet, mais je dois d'abord terminer certaines choses sur le site avant de m'y atteler. Je suis tout seul pour maintenir le site ainsi que son contenu (et comme vous pouvez l'imaginer, il faut pas mal de temps pour concevoir des exercices pour chaque cours).

17/11/2020 09:59:34
seka

seka

bonsoir j'ai bien compris mais il y a d'exercice pour bien comprendre

16/11/2020 23:35:05