Limite d’une fonction en un point

Limite infinie

Fonction tendant vers ++\infty en un point

Soit ff une fonction (en classe de Terminale, on se limite aux fonctions réelles) d’ensemble de définition Df\mathcal{D}_f. Soit aa un réel appartenant à Df\mathcal{D}_f ou étant une borne de Df\mathcal{D}_f.

On dit que f(x)f(x) tend vers ++\infty quand xx tend vers aa si f(x)f(x) est aussi grand que l’on veut pourvu que xx soit suffisamment proche de aa.

On note ceci limxaf(x)=+\lim_{x \rightarrow a} f(x) = +\infty.

Exemple

La fonction ff définie sur R\mathbb{R}^* par f(x)=1x2f(x) = \frac{1}{x^2}, tend vers ++\infty quand xx tend vers 00.

Il est tout à fait possible d’établir une définition similaire pour une fonction tendant vers -\infty en un point.

Fonction tendant vers -\infty en un point

En reprenant les notations précédentes, on dit que f(x)f(x) tend vers -\infty quand xx tend vers aa si f(x)f(x) est aussi petit que l’on veut pourvu que xx suffisamment proche de aa.

On note ceci limxaf(x)=\lim_{x \rightarrow a} f(x) = -\infty.

Exemple

La fonction ff définie sur ],3[]3,+[]-\infty, 3[ \, \cup \, ]3, +\infty[ par f(x)=1x26x+9f(x) = -\frac{1}{x^2-6x+9}, tend vers -\infty quand xx tend vers 33.

Limite finie

Définition

Soit ff une fonction d’ensemble de définition Df\mathcal{D}_f. Soit aa un réel appartenant à Df\mathcal{D}_f ou étant une borne de Df\mathcal{D}_f.

On dit que f(x)f(x) tend vers \ell quand xx tend vers aa si f(x)f(x) est aussi proche de \ell que l’on veut pourvu que xx soit suffisamment proche de aa.

On note ceci limxaf(x)=\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \ell.

Exemple

La fonction ff définie sur R\mathbb{R}^* par f(x)=sin(x)xf(x) = \frac{\sin(x)}{x}, tend vers 11 quand xx tend vers 00.

Une petite remarque cependant : cette limite n’est pas triviale à démontrer. On peut cependant en proposer une preuve à l’aide de la dérivée de la fonction sin\sin (qui est cos\cos) : limx0sin(x)x=limx0sin(x)sin(0)x0=sin(0)=cos(0)=1\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x) - \sin(0)}{x - 0} = \sin'(0) = \cos(0) = 1.

Limites à gauche et à droite

Définition

Soit ff une fonction d’ensemble de définition Df\mathcal{D}_f. Soit aa un réel appartenant à Df\mathcal{D}_f ou étant une borne de Df\mathcal{D}_f.

  • On dit que f(x)f(x) admet une limite à gauche quand xx tend vers aa si f(x)f(x) admet une limite quand xx tend vers aa avec x<ax < a. On la note limxaf(x)\lim_{x \rightarrow a^-} f(x).

  • On dit que f(x)f(x) admet une limite à droite quand xx tend vers aa si f(x)f(x) admet une limite quand xx tend vers aa avec x>ax > a. On la note limxa+f(x)\lim_{x \rightarrow a^+} f(x).

Exemple

La fonction ff définie sur R\mathbb{R}^* par f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x}, admet deux limites différentes à gauche et à droite de 00 :

  • limx0h(x)=\lim_{x \rightarrow 0^-} h(x) = -\infty

  • limx0+h(x)=+\lim_{x \rightarrow 0^+} h(x) = +\infty

Asymptote verticale

Définition

Soit ff une fonction d’ensemble de définition Df\mathcal{D}_f. Soit aa un réel appartenant à Df\mathcal{D}_f ou étant une borne de Df\mathcal{D}_f.

Alors si f(x)f(x) admet une limite infinie quand xx tend vers aa, alors la droite d’équation x=ax = a est une asymptote verticale à la courbe représentative de ff.

Exemple

En reprenant les exemples précédents :

  • Les courbes représentatives des fonctions x1xx \mapsto \frac{1}{x} et x1x2x \mapsto \frac{1}{x^2} admettent toutes deux une asymptote verticale d’équation x=0x = 0.

  • La courbe de la fonction x1x26x+9x \mapsto \frac{1}{x^2-6x+9} admet une asymptote verticale d’équation x=3x = 3.

Limite d’une fonction en l’infini

Limite infinie

Fonction tendant vers ++\infty en ++\infty

Soit ff une fonction d’ensemble de définition Df\mathcal{D}_f. On suppose qu’une des bornes de Df\mathcal{D}_f est ++\infty.

On dit que f(x)f(x) tend vers ++\infty si f(x)f(x) est aussi grand que l’on veut pourvu que xx soit suffisamment grand.

Comme précédemment, on peut écrire des définitions similaires pour dire que ff tend vers -\infty quand xx tend vers ++\infty.

Fonction tendant vers -\infty en ++\infty

En reprenant les notations précédentes, on dit que f(x)f(x) tend vers -\infty quand xx tend vers ++\infty si f(x)f(x) est aussi petit que l’on veut pourvu que xx soit suffisamment grand.

Fonction tendant vers ±\pm \infty en -\infty

Pour avoir les définitions quand xx tend vers -\infty, il suffit de remplacer xx suffisamment grand par xx suffisamment petit et il faut qu’une des bornes de Df\mathcal{D}_f soit -\infty.

Exemple

La fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2x+1f(x) = 2x+1, tend vers ++\infty quand xx tend vers ++\infty. Cependant, la fonction f:x2x1-f : x \mapsto -2x - 1 tend vers -\infty quand xx tend vers ++\infty.

Limite finie

Limite finie en ++\infty

Soit ff une fonction d’ensemble de définition Df\mathcal{D}_f. On suppose qu’une des bornes de Df\mathcal{D}_f est ++\infty.

On dit que f(x)f(x) tend vers \ell quand xx tend vers ++\infty si f(x)f(x) est aussi proche de \ell que l’on veut pourvu que xx soit suffisamment grand.

De même, on peut écrire une définition semblable quand xx tend vers -\infty.

Limite finie en -\infty

En reprenant les notations précédentes et en supposant qu’une des bornes de Df\mathcal{D}_f soit -\infty, on dit que f(x)f(x) tend vers \ell quand xx tend vers -\infty si f(x)f(x) est aussi proche de \ell que l’on veut pourvu que xx soit suffisamment petit.

Exemple

La fonction ff définie sur R+\mathbb{R}^+ par f(x)=9x3x+1f(x) = \frac{9x}{3x+1} tend vers 33 quand xx tend vers ++\infty.

Asymptote horizontale

Définition en ++\infty

Soit ff une fonction d’ensemble de définition Df\mathcal{D}_f. On suppose qu’une des bornes de Df\mathcal{D}_f est ++\infty.

Alors si f(x)f(x) admet une limite finie \ell quand xx tend vers ++\infty, alors la droite d’équation y=y = \ell est une asymptote horizontale en ++\infty à la courbe représentative de ff.

Comme tout ce que l’on a vu avant, il existe une définition semblable en -\infty.

Définition en -\infty

Soit ff une fonction d’ensemble de définition Df\mathcal{D}_f. On suppose qu’une des bornes de Df\mathcal{D}_f est -\infty.

Alors si f(x)f(x) admet une limite finie \ell quand xx tend vers -\infty, alors la droite d’équation y=y = \ell est une asymptote horizontale en -\infty à la courbe représentative de ff.

Exemple

En reprenant l’exemple précédent, la courbe représentative de la fonction x9x3x+1x \mapsto \frac{9x}{3x+1} admet une asymptote horizontale d’équation y=3y=3 en ++\infty.

De plus, elle admet une asymptote verticale d’équation x=13x=-\frac{1}{3}.

Calcul de limites

Limites de fonctions de référence

Nous allons donner quelques fonctions classiques avec leur limite en quelques points.

Limites de fonctions usuelles

a=a = -\infty a=0a = 0 a=+a = +\infty
limxa1x\lim_{x \rightarrow a} \frac{1}{x} 00 -\infty si a=0a = 0^-, ++\infty si a=0+a = 0^+ 00
limxax\lim_{x \rightarrow a} \sqrt{x} Non définie 00 si a=0+a = 0^+ ++\infty
limxaxk\lim_{x \rightarrow a} x^k -\infty si kk est impair, ++\infty si kk est pair 00 ++\infty
limxaex\lim_{x \rightarrow a} e^x 00 e0=1e^0 = 1 ++\infty

Rappel

On rappelle que 00^- signifie tend vers 00 mais en restant inférieur à 00 et 0+0^+ signifie tend vers 00 mais en restant supérieur à 00.

Opérations sur les limites

Dans tout ce qui suit, ff et gg sont deux fonctions de domaines de définition Df\mathcal{D}_f et Dg\mathcal{D}_g. Soit aa un nombre réel appartenant à DfDg\mathcal{D}_f \, \cap \, \mathcal{D}_g (ou qui est au moins une borne des deux à la fois). Les tableaux suivants ressemblent beaucoup à ceux qui sont disponibles dans le cours sur les suites donc vous pouvez bien-sûr n’en retenir qu’un des deux, et tenter à partir de là de retrouver l’autre.

Limite d’une somme

Limite d’une somme
Si la limite de f(x)f(x) quand xx tend vers aa est... \ell \ell \ell ++\infty -\infty ++\infty
Et la limite de gg quand xx tend vers aa est... \ell' ++\infty -\infty ++\infty -\infty -\infty
Alors la limite de f+gf + g quand xx tend vers aa est... +\ell + \ell' ++\infty -\infty ++\infty -\infty ?

Limite d’un produit

Limite d’un produit
Si la limite de f(x)f(x) quand xx tend vers aa est... \ell >0\ell > 0 >0\ell > 0 <0\ell < 0 <0\ell < 0 ++\infty ++\infty -\infty 00
Et la limite de gg quand xx tend vers aa est... \ell' ++\infty -\infty ++\infty -\infty ++\infty -\infty -\infty ±\pm \infty
Alors la limite de f×gf \times g quand xx tend vers aa est... ×\ell \times \ell' ++\infty -\infty -\infty ++\infty ++\infty -\infty ++\infty ?

Limite d’un quotient

Limite d’un quotient
Si la limite de f(x)f(x) quand xx tend vers aa est... \ell \ell ++\infty ++\infty -\infty -\infty ±\pm \infty \ell 00
Et la limite de gg quand xx tend vers aa est... 0\ell' \neq 0 ±\pm \infty >0\ell' > 0 <0\ell' < 0 >0\ell' > 0 <0\ell' < 0 ±\pm \infty 00 00
Alors la limite de fg\frac{f}{g} quand xx tend vers aa est... \displaystyle{\frac{\ell}{\ell'}} 00 ++\infty -\infty -\infty ++\infty ? ±\pm \infty ?

Limite d’une composée

Si on pose limxaf(x)=b\lim_{x \rightarrow a} f(x) = b et limxbg(x)=c\lim_{x \rightarrow b} g(x) = c. Alors limx(gf)(x)=c\lim_{x \rightarrow} (g \circ f)(x) = c.

Formes indéterminées

À noter qu’il n’existe que 4 formes indéterminées : ++\infty - \infty, 0×±0 \times \pm \infty, ±±\frac{\pm \infty}{\pm \infty} et 00\frac{0}{0}.

Comparaisons et encadrements

Théorèmes de comparaison

Soient deux fonctions ff et gg.

  • Si limx+f(x)=+\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty et si fgf \leq g à partir d’un certain point, alors limx+g(x)=+\lim_{x \rightarrow +\infty} g(x) = +\infty.

  • Si limx+f(x)=\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = -\infty et si fgf \geq g à partir d’un certain point, alors limx+g(x)=\lim_{x \rightarrow +\infty} g(x) = -\infty.

Théorème des gendarmes

Soient trois fonctions ff, gg et hh. Si on a fghf \leq g \leq h à partir d’un certain point, et qu’il existe \ell tel que limx+f(x)=\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \ell et limx+h(x)=\lim_{x \rightarrow +\infty} h(x) = \ell, alors limx+g(x)=\lim_{x \rightarrow +\infty} g(x) = \ell.

Exemple

Utilisons ce théorème pour montrer que la fonction f:xsin(x)xf : x \mapsto \frac{\sin(x)}{x} tend vers 00 quand xx tend vers ++\infty.

Tout d’abord, pour tout xRx \in \mathbb{R}, 1sin(x)1-1 \leq \sin(x) \leq 1.

Donc, pour tout x>0x > 0, 1xsin(x)x=f(x)1x\frac{-1}{x} \leq \underbrace{\frac{\sin(x)}{x}}_{= f(x)} \leq \frac{1}{x}.

Comme, limx+1x=0\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{-1}{x} = 0 et limx+1x=0\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{x} = 0, alors limx+f(x)=0\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = 0.

Le dernier théorème est la version fonctions du théorèmes des gendarmes (que l’on a vu lors du cours sur les suites). Ils permettent notamment de démontrer une partie du théorème des croissances comparées.

Croissances comparées

limx+exxn=+\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty pour tout nNn \in \mathbb{N}.

Démonstration

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Skyost Modérateur

Tout le cours est disponible ici. N'hésitez pas à demander si vous avez des questions sur un point particulier.

15/08/2021 10:07:13
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Anonyme

eexpliqué le cours de limite

14/08/2021 05:38:12
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Anonyme

oui oui

12/02/2021 11:35:02
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Anonyme cc

شكران

16/01/2021 19:50:59
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Anonyme

limite et continuité

25/11/2020 14:00:45
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Skyost Modérateur

Les exercices sont en projet, mais je dois d'abord terminer certaines choses sur le site avant de m'y atteler. Je suis tout seul pour maintenir le site ainsi que son contenu (et comme vous pouvez l'imaginer, il faut pas mal de temps pour concevoir des exercices pour chaque cours).

17/11/2020 09:59:34
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seka

bonsoir j'ai bien compris mais il y a d'exercice pour bien comprendre

16/11/2020 23:35:05