Terminale
I – Limite d'une fonction en un point
1. Limite infinie
Fonction tendant vers
Soit
On dit que
On note ceci
Exemple
La fonction
Il est tout à fait possible d'établir une définition similaire pour une fonction tendant vers
Fonction tendant vers
En reprenant les notations précédentes, on dit que
On note ceci
Exemple
La fonction
2. Limite finie
Définition
Soit
On dit que
On note ceci
Exemple
La fonction
Une petite remarque cependant : cette limite n'est pas triviale à démontrer. On peut cependant en proposer une preuve à
l'aide de la dérivée de la fonction
3. Limites à gauche et à droite
Définition
Soit
- On dit que
- On dit que
Exemple
La fonction
4. Asymptote verticale
Définition
Soit
Alors si
Exemple
En reprenant les exemples précédents :
- Les courbes représentatives des fonctions
- La courbe de la fonction
II – Limite d'une fonction en l'infini
1. Limite infinie
Fonction tendant vers
Soit
On dit que
Comme précédemment, on peut écrire des définitions similaires pour dire que
Fonction tendant vers
En reprenant les notations précédentes, on dit que
Fonction tendant vers
Pour avoir les définitions quand
Exemple
La fonction
2. Limite finie
Limite finie en
Soit
On dit que
De même, on peut écrire une définition semblable quand
Limite finie en
En reprenant les notations précédentes et en supposant qu'une des bornes de
Exemple
La fonction
3. Asymptote horizontale
Définition en
Soit
Alors si
Comme tout ce que l'on a vu avant, il existe une définition semblable en
Définition en
Soit
Alors si
Exemple
En reprenant l'exemple précédent, la courbe représentative de la fonction
De plus, elle admet une asymptote verticale d'équation
III – Calcul de limites
1. Limites de fonctions de référence
Nous allons donner quelques fonctions classiques avec leur limite en quelques points.
Limites de fonctions usuelles
| Non définie | |||
Rappel
On rappelle que
2. Opérations sur les limites
Dans tout ce qui suit,
Limite d'une somme
| Limite d'une somme | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Si la limite de | ||||||
| Et la limite de | ||||||
| Alors la limite de | ? |
Limite d'un produit
| Limite d'un produit | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Si la limite de | |||||||||
| Et la limite de | |||||||||
| Alors la limite de | ? |
Limite d'un quotient
| Limite d'un quotient | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Si la limite de | |||||||||
| Et la limite de | |||||||||
| Alors la limite de | ? | ? |
Limite d'une composée
Si on pose
Formes indéterminées
À noter qu'il n'existe que 4 formes indéterminées :
3. Comparaisons et encadrements
Théorèmes de comparaison
Soient deux fonctions
- Si
- Si
Théorème des gendarmes
Soient trois fonctions
Exemple
Utilisons ce théorème pour montrer que la fonction
Tout d'abord, pour tout
Donc, pour tout
Comme,
Le dernier théorème est la version fonctions
du théorèmes des gendarmes (que l'on a vu lors du cours
sur les suites). Ils permettent notamment de démontrer une partie du théorème des
croissances comparées.