Fonction tendant vers $+\infty$ en un point

Soit $f$ une fonction (en classe de Terminale, on se limite aux fonctions réelles) d’ensemble de définition ${\mathcal{D}}_f$. Soit $a$ un réel appartenant à ${\mathcal{D}}_f$ ou étant une borne de ${\mathcal{D}}_f$.

On dit que $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $a$ si $f(x)$ est aussi grand que l’on veut pourvu que $x$ soit suffisamment proche de $a$.

On note ceci $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=+\infty$.

Exemple

La fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ par $f(x)=\frac{1}{x^2}$, tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $0$.

Fonction tendant vers $-\infty$ en un point

En reprenant les notations précédentes, on dit que $f(x)$ tend vers $-\infty$ quand $x$ tend vers $a$ si $f(x)$ est aussi petit que l’on veut pourvu que $x$ suffisamment proche de $a$.

On note ceci $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=-\infty$.

Exemple

La fonction $f$ définie sur $]-\infty ,3[\cup ]3,+\infty [$ par $f(x)=-\frac{1}{x^2-6x+9}$, tend vers $-\infty$ quand $x$ tend vers $3$.

Définition

Soit $f$ une fonction d’ensemble de définition ${\mathcal{D}}_f$. Soit $a$ un réel appartenant à ${\mathcal{D}}_f$ ou étant une borne de ${\mathcal{D}}_f$.

On dit que $f(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $a$ si $f(x)$ est aussi proche de $\ell$ que l’on veut pourvu que $x$ soit suffisamment proche de $a$.

On note ceci $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\ell$.

Exemple

La fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ par $f(x)=\frac{\sin (x)}{x}$, tend vers $1$ quand $x$ tend vers $0$.

Une petite remarque cependant : cette limite n’est pas triviale à démontrer. On peut cependant en proposer une preuve à l’aide de la dérivée de la fonction $\sin$ (qui est $\cos$) : $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x)-\sin (0)}{x-0}={\sin }^{\prime }(0)=\cos (0)=1$.

Définition

Soit $f$ une fonction d’ensemble de définition ${\mathcal{D}}_f$. Soit $a$ un réel appartenant à ${\mathcal{D}}_f$ ou étant une borne de ${\mathcal{D}}_f$.

• On dit que $f(x)$ admet une limite à gauche quand $x$ tend vers $a$ si $f(x)$ admet une limite quand $x$ tend vers $a$ avec $x<a$. On la note $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)$.

• On dit que $f(x)$ admet une limite à droite quand $x$ tend vers $a$ si $f(x)$ admet une limite quand $x$ tend vers $a$ avec $x>a$. On la note $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)$.

Exemple

La fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ par $f(x)=\frac{1}{x}$, admet deux limites différentes à gauche et à droite de $0$ :

• $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }h(x)=-\infty$

• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }h(x)=+\infty$

Définition

Soit $f$ une fonction d’ensemble de définition ${\mathcal{D}}_f$. Soit $a$ un réel appartenant à ${\mathcal{D}}_f$ ou étant une borne de ${\mathcal{D}}_f$.

Alors si $f(x)$ admet une limite infinie quand $x$ tend vers $a$, alors la droite d’équation $x=a$ est une asymptote verticale à la courbe représentative de $f$.

Exemple

En reprenant les exemples précédents :

• Les courbes représentatives des fonctions $x\mapsto \frac{1}{x}$ et $x\mapsto \frac{1}{x^2}$ admettent toutes deux une asymptote verticale d’équation $x=0$.

• La courbe de la fonction $x\mapsto \frac{1}{x^2-6x+9}$ admet une asymptote verticale d’équation $x=3$.

Fonction tendant vers $+\infty$ en $+\infty$

Soit $f$ une fonction d’ensemble de définition ${\mathcal{D}}_f$. On suppose qu’une des bornes de ${\mathcal{D}}_f$ est $+\infty$.

On dit que $f(x)$ tend vers $+\infty$ si $f(x)$ est aussi grand que l’on veut pourvu que $x$ soit suffisamment grand.

Fonction tendant vers $-\infty$ en $+\infty$

En reprenant les notations précédentes, on dit que $f(x)$ tend vers $-\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ si $f(x)$ est aussi petit que l’on veut pourvu que $x$ soit suffisamment grand.

Fonction tendant vers $\pm \infty$ en $-\infty$

Pour avoir les définitions quand $x$ tend vers $-\infty$, il suffit de remplacer $x$ suffisamment grand par $x$ suffisamment petit et il faut qu’une des bornes de ${\mathcal{D}}_f$ soit $-\infty$.

Exemple

La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x+1$, tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$. Cependant, la fonction $-f:x\mapsto -2x-1$ tend vers $-\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

Limite finie en $+\infty$

Soit $f$ une fonction d’ensemble de définition ${\mathcal{D}}_f$. On suppose qu’une des bornes de ${\mathcal{D}}_f$ est $+\infty$.

On dit que $f(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $+\infty$ si $f(x)$ est aussi proche de $\ell$ que l’on veut pourvu que $x$ soit suffisamment grand.

Limite finie en $-\infty$

En reprenant les notations précédentes et en supposant qu’une des bornes de ${\mathcal{D}}_f$ soit $-\infty$, on dit que $f(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $-\infty$ si $f(x)$ est aussi proche de $\ell$ que l’on veut pourvu que $x$ soit suffisamment petit.

Exemple

La fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^{+}$ par $f(x)=\frac{9x}{3x+1}$ tend vers $3$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

Définition en $+\infty$

Soit $f$ une fonction d’ensemble de définition ${\mathcal{D}}_f$. On suppose qu’une des bornes de ${\mathcal{D}}_f$ est $+\infty$.

Alors si $f(x)$ admet une limite finie $\ell$ quand $x$ tend vers $+\infty$, alors la droite d’équation $y=\ell$ est une asymptote horizontale en $+\infty$ à la courbe représentative de $f$.

Définition en $-\infty$

Soit $f$ une fonction d’ensemble de définition ${\mathcal{D}}_f$. On suppose qu’une des bornes de ${\mathcal{D}}_f$ est $-\infty$.

Alors si $f(x)$ admet une limite finie $\ell$ quand $x$ tend vers $-\infty$, alors la droite d’équation $y=\ell$ est une asymptote horizontale en $-\infty$ à la courbe représentative de $f$.

Exemple

En reprenant l’exemple précédent, la courbe représentative de la fonction $x\mapsto \frac{9x}{3x+1}$ admet une asymptote horizontale d’équation $y=3$ en $+\infty$.

De plus, elle admet une asymptote verticale d’équation $x=-\frac{1}{3}$.

Limites de fonctions usuelles

Rappel

On rappelle que $0^{-}$ signifie tend vers $0$ mais en restant inférieur à $0$ et $0^{+}$ signifie tend vers $0$ mais en restant supérieur à $0$.

Limite d’une somme

Limite d’un produit

Limite d’un quotient

Limite d’une composée

Si on pose $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=b$ et $\underset{x\to b}{\lim }g(x)=c$. Alors $\underset{x\to }{\lim }(g\circ f)(x)=c$.

Formes indéterminées

À noter qu’il n’existe que 4 formes indéterminées : $+\infty -\infty$, $0\times \pm \infty$, $\frac{\pm \infty }{\pm \infty }$ et $\frac{0}{0}$.

Théorèmes de comparaison

Soient deux fonctions $f$ et $g$.

• Si $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$ et si $f\le g$ à partir d’un certain point, alors $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=+\infty$.

• Si $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-\infty$ et si $f\ge g$ à partir d’un certain point, alors $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=-\infty$.

Théorème des gendarmes

Soient trois fonctions $f$, $g$ et $h$. Si on a $f\le g\le h$ à partir d’un certain point, et qu’il existe $\ell$ tel que $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\ell$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }h(x)=\ell$, alors $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=\ell$.

Exemple

Utilisons ce théorème pour montrer que la fonction $f:x\mapsto \frac{\sin (x)}{x}$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

Tout d’abord, pour tout $x\in \mathbb{R}$, $-1\le \sin (x)\le 1$.

Donc, pour tout $x>0$, $\frac{-1}{x}\le \underset{=f(x)}{\underbrace{\frac{\sin (x)}{x}}}\le \frac{1}{x}$.

Comme, $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-1}{x}=0$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$, alors $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0$.

Croissances comparées

Pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x^n}=+\infty$$

Croissances comparées

Commençons tout d’abord par montrer que pour tout $x\ge 0$, $e^x\ge 1+x$. Pour cela, posons $f:x\mapsto e^x-1-x$. On a pour tout $x\in \mathbb{R}$, $f^{\prime }(x)=e^x-1$. Donc $f^{\prime }(x)$ est positif si et seulement si $e^x-1\ge 0$, c’est-à-dire $e^x\ge 1$.

En regardant le graphique de la fonction exponentielle, on trouve que cela est équivalent à $x\ge 0$.

Notre fonction est donc croissante sur l’intervalle $[0,+\infty [$, et son minimum est donc atteint en $x=0$ et vaut $f(0)=0$. Ainsi, pour tout $x\ge 0$, $f(x)\ge 0⟺e^x-1-x\ge 0⟺e^x\ge 1+x$ : ce que l’on cherchait.

Pour conclure, on utilise une petite astuce. Soit $n\in \mathbb{N}$ :

D’après ce que l’on vient de faire, pour tout $x>0$, $e^{\frac{x}{n+1}}\ge 1+\frac{x}{n+1}>\frac{x}{n+1}$. Ainsi, en mettant à la puissance $n+1$ (qui ne change pas le sens de l’inégalité car les deux membres sont positifs), on a : $$e^x>(\frac{x}{n+1}{)}^{n+1}=\frac{x^{n+1}}{(n+1{)}^{n+1}}$$ Maintenant, on divise les deux côtés par $x^n$ (qui est un nombre strictement positif) et on obtient : $$\frac{e^x}{x^n}>\frac{x}{(n+1{)}^{n+1}}$$ Or, le membre de droite tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ donc le membre de gauche aussi d’après les théorèmes de comparaison.