Limite d'une fonction en un point

Limite infinie

Soit $f$ une fonction (en classe de Terminale, on se limite aux fonctions réelles) d'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$. Soit $a$ un réel appartenant à $\mathcal{D}_f$ ou étant une borne de $\mathcal{D}_f$.

On dit que $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $a$ si $f(x)$ est aussi grand que l'on veut pourvu que $x$ soit suffisamment proche de $a$.

On note ceci $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = +\infty$.

La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x) = \frac{1}{x^2}$, tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $0$.

Il est tout-à-fait possible d'établir une définition similaire pour une fonction tendant vers $-\infty$ en un point.

En reprenant les notations précédentes, on dit que $f(x)$ tend vers $-\infty$ quand $x$ tend vers $a$ si $f(x)$ est aussi petit que l'on veut pourvu que $x$ suffisamment proche de $a$.

On note ceci $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = -\infty$.

La fonction $f$ définie sur $]-\infty, 3[ \, \cup \, ]3, +\infty[$ par $f(x) = -\frac{1}{x^2-6x+9}$, tend vers $-\infty$ quand $x$ tend vers $3$.

Limite finie

Soit $f$ une fonction d'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$. Soit $a$ un réel appartenant à $\mathcal{D}_f$ ou étant une borne de $\mathcal{D}_f$.

On dit que $f(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $a$ si $f(x)$ est aussi proche de $\ell$ que l'on veut pourvu que $x$ soit suffisamment proche de $a$.

On note ceci $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \ell$.

La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$, tend vers $1$ quand $x$ tend vers $0$.

Une petite remarque cependant : cette limite n'est pas triviale à démontrer. On peut cependant en proposer une preuve à l'aide de la dérivée de la fonction $\sin$ (qui est $\cos$) : $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x) - \sin(0)}{x - 0} = \sin'(0) = \cos(0) = 1$.

Limites à gauche et à droite

Soit $f$ une fonction d'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$. Soit $a$ un réel appartenant à $\mathcal{D}_f$ ou étant une borne de $\mathcal{D}_f$.

• On dit que $f(x)$ admet une limite à gauche quand $x$ tend vers $a$ si $f(x)$ admet une limite quand $x$ tend vers $a$ avec $x \lt a$. On la note $\lim_{x \rightarrow a^-} f(x)$.
• On dit que $f(x)$ admet une limite à droite quand $x$ tend vers $a$ si $f(x)$ admet une limite quand $x$ tend vers $a$ avec $x \gt a$. On la note $\lim_{x \rightarrow a^+} f(x)$.

La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x) = \frac{1}{x}$, admet deux limites différentes à gauche et à droite de $0$ :

• $\lim_{x \rightarrow 0^-} h(x) = -\infty$
• $\lim_{x \rightarrow 0^+} h(x) = +\infty$

Asymptote verticale

Soit $f$ une fonction d'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$. Soit $a$ un réel appartenant à $\mathcal{D}_f$ ou étant une borne de $\mathcal{D}_f$.

Alors si $f(x)$ admet une limite infinie quand $x$ tend vers $a$, alors la droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale à la courbe représentative de $f$.

En reprenant les exemples précédents :

• Les courbe représentatives des fonctions $x \mapsto \frac{1}{x}$ et $x \mapsto \frac{1}{x^2}$ admettent toutes deux une asymptote verticale d'équation $x = 0$.
• La courbe de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x^2-6x+9}$ admet une asymptote verticale d'équation $x = 3$.

Limite d'une fonction en l'infini

Limite infinie

Soit $f$ une fonction d'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$. On suppose qu'une des bornes de $\mathcal{D}_f$ est $+\infty$.

On dit que $f(x)$ tend vers $+\infty$ si $f(x)$ est aussi grand que l'on veut pourvu que $x$ soit suffisamment grand.

Comme précédemment, on peut écrire des définitions similaires pour dire que $f$ tend vers $-\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

En reprenant les notations précédentes, on dit que $f(x)$ tend vers $-\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ si $f(x)$ est aussi petit que l'on veut pourvu que $x$ soit suffisamment grand.

Pour avoir les définitions quand $x$ tend vers $-\infty$, il suffit de remplacer $x$ suffisamment grand par $x$ suffisamment petit et il faut qu'une des bornes de $\mathcal{D}_f$ soit $-\infty$.

La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x+1$, tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$. Cependant, la fonction $-f : x \mapsto -2x - 1$ tend vers $-\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

Limite finie

Soit $f$ une fonction d'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$. On suppose qu'une des bornes de $\mathcal{D}_f$ est $+\infty$.

On dit que $f(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $+\infty$ si $f(x)$ est aussi proche de $\ell$ que l'on veut pourvu que $x$ soit suffisamment grand.

De même, on peut écrire une définition semblable quand $x$ tend vers $-\infty$.

En reprenant les notation précédentes et en supposant qu'une des bornes de $\mathcal{D}_f$ soit $-\infty$, on dit que $f(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $-\infty$ si $f(x)$ est aussi proche de $\ell$ que l'on veut pourvu que $x$ soit suffisamment petit.

La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^+$ par $f(x) = \frac{9x}{3x+1}$ tend vers $3$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

Asymptote horizontale

Soit $f$ une fonction d'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$. On suppose qu'une des bornes de $\mathcal{D}_f$ est $+\infty$.

Alors si $f(x)$ admet une limite finie $\ell$ quand $x$ tend vers $+\infty$, alors la droite d'équation $y = \ell$ est une asymptote horizontale en $+\infty$ à la courbe représentative de $f$.

Comme tout ce que l'on a vu avant, il existe une définition semblable en $-\infty$.

Soit $f$ une fonction d'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$. On suppose qu'une des bornes de $\mathcal{D}_f$ est $-\infty$.

Alors si $f(x)$ admet une limite finie $\ell$ quand $x$ tend vers $-\infty$, alors la droite d'équation $y = \ell$ est une asymptote horizontale en $-\infty$ à la courbe représentative de $f$.

En reprenant l'exemple précédent, la courbe représentative de la fonction $x \mapsto \frac{9x}{3x+1}$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=3$ en $+\infty$.

De plus, elle admet une asymptote verticale d'équation $x=-\frac{1}{3}$.

Calcul de limites

Limites de fonctions de référence

Nous allons donner quelques fonctions classiques avec leur limite en quelques points.

	$a = -\infty$	$a = 0$	$a = +\infty$
$\lim_{x \rightarrow a} \frac{1}{x}$	$0$	$-\infty$ si $a = 0^-$, $+\infty$ si $a = 0^+$	$0$
$\lim_{x \rightarrow a} \sqrt{x}$	Non définie	$0$ si $a = 0^+$	$+\infty$
$\lim_{x \rightarrow a} x^k$	$-\infty$ si $k$ est impair, $+\infty$ si $k$ est pair	$0$	$+\infty$
$\lim_{x \rightarrow a} e^x$	$0$	$e^0 = 1$	$+\infty$

On rappelle que $0^-$ signifie tend vers $0$ mais en restant inférieur à $0$ et $0^+$ signifie tend vers $0$ mais en restant supérieur à $0$.

Opérations sur les limites

Dans tout ce qui suit, $f$ et $g$ sont deux fonctions de domaines de définition $\mathcal{D}_f$ et $\mathcal{D}_g$. Soit $a$ un nombre réel appartenant à $\mathcal{D}_f \, \cap \, \mathcal{D}_g$ (ou qui est au moins une borne des deux à la fois). Les tableaux suivants ressemblent beaucoup à ceux qui sont disponibles dans le cours sur les suites donc vous pouvez bien-sûr n'en retenir qu'un des deux, et tenter à partir de là de retrouver l'autre.

Limite d'une somme
Si la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $a$ est...	$\ell$	$\ell$	$\ell$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$
Et la limite de $g$ quand $x$ tend vers $a$ est...	$\ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
Alors la limite de $f + g$ quand $x$ tend vers $a$ est...	$\ell + \ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	?

Limite d'un produit
Si la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $a$ est...	$\ell$	$\ell \gt 0$	$\ell \gt 0$	$\ell \lt 0$	$\ell \lt 0$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$0$
Et la limite de $g$ quand $x$ tend vers $a$ est...	$\ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$\pm \infty$
Alors la limite de $f \times g$ quand $x$ tend vers $a$ est...	$\ell \times \ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	?

Limite d'un quotient
Si la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $a$ est...	$\ell$	$\ell$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$\pm \infty$	$\ell$	$0$
Et la limite de $g$ quand $x$ tend vers $a$ est...	$\ell' \neq 0$	$\pm \infty$	$\ell' \gt 0$	$\ell' \lt 0$	$\ell' \gt 0$	$\ell' \lt 0$	$\pm \infty$	$0^+_-$	$0$
Alors la limite de $\frac{f}{g}$ quand $x$ tend vers $a$ est...	$\displaystyle{\frac{\ell}{\ell'}}$	$0$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	?	$\pm \infty$	?

Si on pose $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = b$ et $\lim_{x \rightarrow b} g(x) = c$. Alors $\lim_{x \rightarrow} (g \circ f)(x) = c$.

À noter qu'il n'existe que 4 formes indéterminées : $+\infty - \infty$, $0 \times \pm \infty$, $\frac{\pm \infty}{\pm \infty}$ et $\frac{0}{0}$.

Comparaisons et encadrements

Soient deux fonctions $f$ et $g$.

• Si $\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty$ et si $f \leq g$ à partir d'un certain point, alors $\lim_{x \rightarrow +\infty} g(x) = +\infty$.
• Si $\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = -\infty$ et si $f \geq g$ à partir d'un certain point, alors $\lim_{x \rightarrow +\infty} g(x) = -\infty$.

Soient trois fonctions $f$, $g$ et $h$. Si on a $f \leq g \leq h$ à partir d'un certain point, et qu'il existe $\ell$ tel que $\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \ell$ et $\lim_{x \rightarrow +\infty} h(x) = \ell$, alors $\lim_{x \rightarrow +\infty} g(x) = \ell$.

Utilisons ce théorème pour montrer que la fonction $f : x \mapsto \frac{\sin(x)}{x}$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

Tout d'abord, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $-1 \leq \sin(x) \leq 1$.

Donc, pour tout $x \gt 0$, $\frac{-1}{x} \leq \underbrace{\frac{\sin(x)}{x}}_{= f(x)} \leq \frac{1}{x}$.

Comme, $\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{-1}{x} = 0$ et $\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{x} = 0$, alors $\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = 0$.

Le dernier théorème est la version fonction du théorèmes des gendarmes (que l'on a vu lors du cours sur les suites. Ils permettent notamment de démontrer une partie du théorème des croissances comparées.

$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Commençons tout d'abord par montrer que pour tout $x \geq 0$, $e^x \geq 1 + x$. Pour cela, posons $f : x \mapsto e^x - 1 - x$. On a pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f'(x) = e^x - 1$. Donc $f'(x)$ est positif si et seulement si $e^x - 1 \geq 0$, c'est-à-dire $e^x \geq 1$.

En regardant le graphique de la fonction exponentielle, on trouve que cela est équivalent à $x \geq 0$.

Notre fonction est donc croissante sur l'intervalle $[0, +\infty[$, et son minimum est donc atteint en $x = 0$ et vaut $f(0) = 0$. Ainsi, pour tout $x \geq 0$, $f(x) \geq 0 \iff e^x - 1 - x \geq 0 \iff e^x \geq 1 + x$ : ce que l'on cherchait.

Pour conclure, on utilise une petite astuce. Soit $n \in \mathbb{N}$ :

D'après ce que l'on vient de faire, pour tout $x \gt 0$, $e^{\frac{x}{n+1}} \geq 1 + \frac{x}{n+1} \gt \frac{x}{n+1}$. Ainsi, en mettant à la puissance $n + 1$ (qui ne change pas le sens de l'inégalité car les deux membres sont positifs), on a :

$e^x \gt (\frac{x}{n+1})^{n+1} = \frac{x^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}$

Maintenant, on divise les deux côtés par $x^n$ (qui est un nombre strictement positif) et on obtient :

$\frac{e^x}{x^n} \gt \frac{x}{(n+1)^{n+1}}$

Or, le membre de droite tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ donc le membre de gauche aussi d'après les théorèmes de comparaison.