Limite d'une fonction en un point

Limite infinie

Soit $f$ une fonction (en classe de Terminale, on se limite aux fonctions réelles) d'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$. Soit $a$ un réel appartenant à $\mathcal{D}_f$ ou étant une borne de $\mathcal{D}_f$.

On dit que $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $a$ si $f(x)$ est aussi grand que l'on veut pourvu que $x$ soit suffisamment proche de $a$.

On note ceci $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = +\infty$.

Limite finie

Soit $f$ une fonction d'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$. Soit $a$ un réel appartenant à $\mathcal{D}_f$ ou étant une borne de $\mathcal{D}_f$.

On dit que $f(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $a$ si $f(x)$ est aussi proche de $\ell$ que l'on veut pourvu que $x$ soit suffisamment proche de $a$.

On note ceci $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \ell$.

Limites à gauche et à droite

Soit $f$ une fonction d'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$. Soit $a$ un réel appartenant à $\mathcal{D}_f$ ou étant une borne de $\mathcal{D}_f$.

  • On dit que $f(x)$ admet une limite à gauche quand $x$ tend vers $a$ si $f(x)$ admet une limite quand $x$ tend vers $a$ avec $x \lt a$. On la note $\lim_{x \rightarrow a^-} f(x)$.
  • On dit que $f(x)$ admet une limite à droite quand $x$ tend vers $a$ si $f(x)$ admet une limite quand $x$ tend vers $a$ avec $x \gt a$. On la note $\lim_{x \rightarrow a^+} f(x)$.

Asymptote verticale

Soit $f$ une fonction d'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$. Soit $a$ un réel appartenant à $\mathcal{D}_f$ ou étant une borne de $\mathcal{D}_f$.

Alors si $f(x)$ admet une limite infinie quand $x$ tend vers $a$, alors la droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale à la courbe représentative de $f$.

Limite d'une fonction en l'infini

Limite infinie

Soit $f$ une fonction d'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$. On suppose qu'une des bornes de $\mathcal{D}_f$ est $+\infty$.

On dit que $f(x)$ tend vers $+\infty$ si $f(x)$ est aussi grand que l'on veut pourvu que $x$ soit suffisamment grand.

Limite finie

Soit $f$ une fonction d'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$. On suppose qu'une des bornes de $\mathcal{D}_f$ est $+\infty$.

On dit que $f(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $+\infty$ si $f(x)$ est aussi proche de $\ell$ que l'on veut pourvu que $x$ soit suffisamment grand.

Asymptote horizontale

Soit $f$ une fonction d'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$. On suppose qu'une des bornes de $\mathcal{D}_f$ est $+\infty$.

Alors si $f(x)$ admet une limite finie $\ell$ quand $x$ tend vers $+\infty$, alors la droite d'équation $y = \ell$ est une asymptote horizontale en $+\infty$ à la courbe représentative de $f$.

Calcul de limites

Limites de fonctions de référence

Nous allons donner quelques fonctions classiques avec leur limite en quelques points.

$a = -\infty$$a = 0$$a = +\infty$
$\lim_{x \rightarrow a} \frac{1}{x}$$0$$-\infty$ si $a = 0^-$, $+\infty$ si $a = 0^+$$0$
$\lim_{x \rightarrow a} \sqrt{x}$Non définie$0$ si $a = 0^+$$+\infty$
$\lim_{x \rightarrow a} x^k$$-\infty$ si $k$ est impair, $+\infty$ si $k$ est pair$0$$+\infty$
$\lim_{x \rightarrow a} e^x$$0$$e^0 = 1$$+\infty$

Opérations sur les limites

Dans tout ce qui suit, $f$ et $g$ sont deux fonctions de domaines de définition $\mathcal{D}_f$ et $\mathcal{D}_g$. Soit $a$ un nombre réel appartenant à $\mathcal{D}_f \, \cap \, \mathcal{D}_g$ (ou qui est au moins une borne des deux à la fois). Les tableaux suivants ressemblent beaucoup à ceux qui sont disponibles dans le cours sur les suites donc vous pouvez bien-sûr n'en retenir qu'un des deux, et tenter à partir de là de retrouver l'autre.

Limite d'une somme
Si la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $a$ est...$\ell$$\ell$$\ell$$+\infty$$-\infty$$+\infty$
Et la limite de $g$ quand $x$ tend vers $a$ est...$\ell'$$+\infty$$-\infty$$+\infty$$-\infty$$-\infty$
Alors la limite de $f + g$ quand $x$ tend vers $a$ est...$\ell + \ell'$$+\infty$$-\infty$$+\infty$$-\infty$?
Limite d'un produit
Si la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $a$ est...$\ell$$\ell \gt 0$$\ell \gt 0$$\ell \lt 0$$\ell \lt 0$$+\infty$$+\infty$$-\infty$$0$
Et la limite de $g$ quand $x$ tend vers $a$ est...$\ell'$$+\infty$$-\infty$$+\infty$$-\infty$$+\infty$$-\infty$$-\infty$$\pm \infty$
Alors la limite de $f \times g$ quand $x$ tend vers $a$ est...$\ell \times \ell'$$+\infty$$-\infty$$-\infty$$+\infty$$+\infty$$-\infty$$+\infty$?
Limite d'un quotient
Si la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $a$ est...$\ell$$\ell$$+\infty$$+\infty$$-\infty$$-\infty$$\pm \infty$$\ell$$0$
Et la limite de $g$ quand $x$ tend vers $a$ est...$\ell' \neq 0$$\pm \infty$$\ell' \gt 0$$\ell' \lt 0$$\ell' \gt 0$$\ell' \lt 0$$\pm \infty$$0^+_-$$0$
Alors la limite de $\frac{f}{g}$ quand $x$ tend vers $a$ est...$\displaystyle{\frac{\ell}{\ell'}}$$0$$+\infty$$-\infty$$-\infty$$+\infty$?$\pm \infty$?

Si on pose $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = b$ et $\lim_{x \rightarrow b} g(x) = c$. Alors $\lim_{x \rightarrow} (g \circ f)(x) = c$.

Comparaisons et encadrements

Soient deux fonctions $f$ et $g$.

  • Si $\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty$ et si $f \leq g$ à partir d'un certain point, alors $\lim_{x \rightarrow +\infty} g(x) = +\infty$.
  • Si $\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = -\infty$ et si $f \geq g$ à partir d'un certain point, alors $\lim_{x \rightarrow +\infty} g(x) = -\infty$.

Soient trois fonctions $f$, $g$ et $h$. Si on a $f \leq g \leq h$ à partir d'un certain point, et qu'il existe $\ell$ tel que $\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \ell$ et $\lim_{x \rightarrow +\infty} h(x) = \ell$, alors $\lim_{x \rightarrow +\infty} g(x) = \ell$.

Le dernier théorème est la version fonction du théorèmes des gendarmes (que l'on a vu lors du cours sur les suites. Ils permettent notamment de démontrer une partie du théorème des croissances comparées.

$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.