Chapitre II – Limites de fonctions

Fiche résumée

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En mathématiques, la limite d'une suite ou d'une fonction en un point est, le cas échéant, la valeur particulière dont elle s'approche lorsque la variable ou l'indice s'approche du point en question. Cette valeur et ce point peuvent être un réel ou infini.
Nous verrons ainsi dans ce cours toutes les définitions nécessaires afin de travailler avec les limites (ainsi que les formules de limite de sommes, de produits, de quotients et de composées de fonctions).

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I – Limite d'une fonction en un point

1. Limite infinie

Fonction tendant vers en un point

Soit une fonction (en classe de Terminale, on se limite aux fonctions réelles) d'ensemble de définition . Soit un réel appartenant à ou étant une borne de .

On dit que tend vers quand tend vers si est aussi grand que l'on veut pourvu que soit suffisamment proche de .

On note ceci .

Il est tout à fait possible d'établir une définition similaire pour une fonction tendant vers en un point.

2. Limite finie

Définition

Soit une fonction d'ensemble de définition . Soit un réel appartenant à ou étant une borne de .

On dit que tend vers quand tend vers si est aussi proche de que l'on veut pourvu que soit suffisamment proche de .

On note ceci .

3. Limites à gauche et à droite

Définition

Soit une fonction d'ensemble de définition . Soit un réel appartenant à ou étant une borne de .

  • On dit que admet une limite à gauche quand tend vers si admet une limite quand tend vers avec . On la note .
  • On dit que admet une limite à droite quand tend vers si admet une limite quand tend vers avec . On la note .

4. Asymptote verticale

Définition

Soit une fonction d'ensemble de définition . Soit un réel appartenant à ou étant une borne de .

Alors si admet une limite infinie quand tend vers , alors la droite d'équation est une asymptote verticale à la courbe représentative de .

II – Limite d'une fonction en l'infini

1. Limite infinie

Fonction tendant vers en

Soit une fonction d'ensemble de définition . On suppose qu'une des bornes de est .

On dit que tend vers si est aussi grand que l'on veut pourvu que soit suffisamment grand.

Comme précédemment, on peut écrire des définitions similaires pour dire que tend vers quand tend vers .

2. Limite finie

Limite finie en

Soit une fonction d'ensemble de définition . On suppose qu'une des bornes de est .

On dit que tend vers quand tend vers si est aussi proche de que l'on veut pourvu que soit suffisamment grand.

De même, on peut écrire une définition semblable quand tend vers .

3. Asymptote horizontale

Définition en

Soit une fonction d'ensemble de définition . On suppose qu'une des bornes de est .

Alors si admet une limite finie quand tend vers , alors la droite d'équation est une asymptote horizontale en à la courbe représentative de .

Comme tout ce que l'on a vu avant, il existe une définition semblable en .

III – Calcul de limites

1. Limites de fonctions de référence

Nous allons donner quelques fonctions classiques avec leur limite en quelques points.

Limites de fonctions usuelles

si , si
Non définie si
si est impair, si est pair

2. Opérations sur les limites

Dans tout ce qui suit, et sont deux fonctions de domaines de définition et . Soit un nombre réel appartenant à (ou qui est au moins une borne des deux à la fois). Les tableaux suivants ressemblent beaucoup à ceux qui sont disponibles dans le cours sur les suites donc vous pouvez bien-sûr n'en retenir qu'un des deux, et tenter à partir de là de retrouver l'autre.

Limite d'une somme

Limite d'une somme
Si la limite de quand tend vers est...
Et la limite de quand tend vers est...
Alors la limite de quand tend vers est...?

Limite d'un produit

Limite d'un produit
Si la limite de quand tend vers est...
Et la limite de quand tend vers est...
Alors la limite de quand tend vers est...?

Limite d'un quotient

Limite d'un quotient
Si la limite de quand tend vers est...
Et la limite de quand tend vers est...
Alors la limite de quand tend vers est...??

Limite d'une composée

Si on pose et . Alors .

3. Comparaisons et encadrements

Théorèmes de comparaison

Soient deux fonctions et .

  • Si et si à partir d'un certain point, alors .
  • Si et si à partir d'un certain point, alors .

Théorème des gendarmes

Soient trois fonctions , et . Si on a à partir d'un certain point, et qu'il existe tel que et , alors .

Le dernier théorème est la version fonctions du théorèmes des gendarmes (que l'on a vu lors du cours sur les suites). Ils permettent notamment de démontrer une partie du théorème des croissances comparées.

Croissances comparées

pour tout .