I – Limite d'une fonction en un point
1. Limite infinie
Fonction tendant vers en un point
Soit
On dit que
On note ceci
Il est tout à fait possible d'établir une définition similaire pour une fonction tendant vers
2. Limite finie
Définition
Soit
On dit que
On note ceci
3. Limites à gauche et à droite
Définition
Soit
- On dit que
admet une limite à gauche quand tend vers si admet une limite quand tend vers avec . On la note . - On dit que
admet une limite à droite quand tend vers si admet une limite quand tend vers avec . On la note .
4. Asymptote verticale
Définition
Soit
Alors si
II – Limite d'une fonction en l'infini
1. Limite infinie
Fonction tendant vers en
Soit
On dit que
Comme précédemment, on peut écrire des définitions similaires pour dire que
2. Limite finie
Limite finie en
Soit
On dit que
De même, on peut écrire une définition semblable quand
3. Asymptote horizontale
Définition en
Soit
Alors si
Comme tout ce que l'on a vu avant, il existe une définition semblable en
III – Calcul de limites
1. Limites de fonctions de référence
Nous allons donner quelques fonctions classiques avec leur limite en quelques points.
Limites de fonctions usuelles
Non définie | |||
2. Opérations sur les limites
Dans tout ce qui suit,
Limite d'une somme
Limite d'une somme | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Si la limite de | ||||||
Et la limite de | ||||||
Alors la limite de | ? |
Limite d'un produit
Limite d'un produit | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Si la limite de | |||||||||
Et la limite de | |||||||||
Alors la limite de | ? |
Limite d'un quotient
Limite d'un quotient | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Si la limite de | |||||||||
Et la limite de | |||||||||
Alors la limite de | ? | ? |
Limite d'une composée
Si on pose
3. Comparaisons et encadrements
Théorèmes de comparaison
Soient deux fonctions
- Si
et si à partir d'un certain point, alors . - Si
et si à partir d'un certain point, alors .
Théorème des gendarmes
Soient trois fonctions
Le dernier théorème est la version fonctions
du théorèmes des gendarmes (que l'on a vu lors du cours
sur les suites. Ils permettent notamment de démontrer une partie du théorème des
croissances comparées.