Chapitre II – Limites de fonctions

Fiche résumée

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En mathématiques, la limite d'une suite ou d'une fonction en un point est, le cas échéant, la valeur particulière dont elle s'approche lorsque la variable ou l'indice s'approche du point en question. Cette valeur et ce point peuvent être un réel ou infini.
Nous verrons ainsi dans ce cours toutes les définitions nécessaires afin de travailler avec les limites (ainsi que les formules de limite de sommes, de produits, de quotients et de composées de fonctions).

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Limite d’une fonction en un point

Limite infinie

Fonction tendant vers +∞+\infty en un point

Soit ff une fonction (en classe de Terminale, on se limite aux fonctions réelles) d’ensemble de définition Df\mathcal{D}_f. Soit aa un réel appartenant à Df\mathcal{D}_f ou étant une borne de Df\mathcal{D}_f.

On dit que f(x)f(x) tend vers +∞+\infty quand xx tend vers aa si f(x)f(x) est aussi grand que l’on veut pourvu que xx soit suffisamment proche de aa.

On note ceci lim⁡x→af(x)=+∞\lim_{x \rightarrow a} f(x) = +\infty.

Il est tout à fait possible d’établir une définition similaire pour une fonction tendant vers −∞-\infty en un point.

Limite finie

Définition

Soit ff une fonction d’ensemble de définition Df\mathcal{D}_f. Soit aa un réel appartenant à Df\mathcal{D}_f ou étant une borne de Df\mathcal{D}_f.

On dit que f(x)f(x) tend vers ℓ\ell quand xx tend vers aa si f(x)f(x) est aussi proche de ℓ\ell que l’on veut pourvu que xx soit suffisamment proche de aa.

On note ceci lim⁡x→af(x)=ℓ\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \ell.

Limites à gauche et à droite

Définition

Soit ff une fonction d’ensemble de définition Df\mathcal{D}_f. Soit aa un réel appartenant à Df\mathcal{D}_f ou étant une borne de Df\mathcal{D}_f.

  • On dit que f(x)f(x) admet une limite à gauche quand xx tend vers aa si f(x)f(x) admet une limite quand xx tend vers aa avec x<ax < a. On la note lim⁡x→a−f(x)\lim_{x \rightarrow a^-} f(x).

  • On dit que f(x)f(x) admet une limite à droite quand xx tend vers aa si f(x)f(x) admet une limite quand xx tend vers aa avec x>ax > a. On la note lim⁡x→a+f(x)\lim_{x \rightarrow a^+} f(x).

Asymptote verticale

Définition

Soit ff une fonction d’ensemble de définition Df\mathcal{D}_f. Soit aa un réel appartenant à Df\mathcal{D}_f ou étant une borne de Df\mathcal{D}_f.

Alors si f(x)f(x) admet une limite infinie quand xx tend vers aa, alors la droite d’équation x=ax = a est une asymptote verticale à la courbe représentative de ff.

Limite d’une fonction en l’infini

Limite infinie

Fonction tendant vers +∞+\infty en +∞+\infty

Soit ff une fonction d’ensemble de définition Df\mathcal{D}_f. On suppose qu’une des bornes de Df\mathcal{D}_f est +∞+\infty.

On dit que f(x)f(x) tend vers +∞+\infty si f(x)f(x) est aussi grand que l’on veut pourvu que xx soit suffisamment grand.

Comme précédemment, on peut écrire des définitions similaires pour dire que ff tend vers −∞-\infty quand xx tend vers +∞+\infty.

Limite finie

Limite finie en +∞+\infty

Soit ff une fonction d’ensemble de définition Df\mathcal{D}_f. On suppose qu’une des bornes de Df\mathcal{D}_f est +∞+\infty.

On dit que f(x)f(x) tend vers ℓ\ell quand xx tend vers +∞+\infty si f(x)f(x) est aussi proche de ℓ\ell que l’on veut pourvu que xx soit suffisamment grand.

De même, on peut écrire une définition semblable quand xx tend vers −∞-\infty.

Asymptote horizontale

Définition en +∞+\infty

Soit ff une fonction d’ensemble de définition Df\mathcal{D}_f. On suppose qu’une des bornes de Df\mathcal{D}_f est +∞+\infty.

Alors si f(x)f(x) admet une limite finie ℓ\ell quand xx tend vers +∞+\infty, alors la droite d’équation y=ℓy = \ell est une asymptote horizontale en +∞+\infty à la courbe représentative de ff.

Comme tout ce que l’on a vu avant, il existe une définition semblable en −∞-\infty.

Calcul de limites

Limites de fonctions de référence

Nous allons donner quelques fonctions classiques avec leur limite en quelques points.

Limites de fonctions usuelles

a=−∞a = -\infty a=0a = 0 a=+∞a = +\infty
lim⁡x→a1x\lim_{x \rightarrow a} \frac{1}{x} 00 −∞-\infty si a=0−a = 0^-, +∞+\infty si a=0+a = 0^+ 00
lim⁡x→ax\lim_{x \rightarrow a} \sqrt{x} Non définie 00 si a=0+a = 0^+ +∞+\infty
lim⁡x→axk\lim_{x \rightarrow a} x^k −∞-\infty si kk est impair, +∞+\infty si kk est pair 00 +∞+\infty
lim⁡x→aex\lim_{x \rightarrow a} e^x 00 e0=1e^0 = 1 +∞+\infty

Opérations sur les limites

Dans tout ce qui suit, ff et gg sont deux fonctions de domaines de définition Df\mathcal{D}_f et Dg\mathcal{D}_g. Soit aa un nombre réel appartenant à Df ∩ Dg\mathcal{D}_f \, \cap \, \mathcal{D}_g (ou qui est au moins une borne des deux à la fois). Les tableaux suivants ressemblent beaucoup à ceux qui sont disponibles dans le cours sur les suites donc vous pouvez bien-sûr n’en retenir qu’un des deux, et tenter à partir de là de retrouver l’autre.

Limite d’une somme

Limite d’une somme
Si la limite de f(x)f(x) quand xx tend vers aa est... ℓ\ell ℓ\ell ℓ\ell +∞+\infty −∞-\infty +∞+\infty
Et la limite de gg quand xx tend vers aa est... ℓ′\ell' +∞+\infty −∞-\infty +∞+\infty −∞-\infty −∞-\infty
Alors la limite de f+gf + g quand xx tend vers aa est... ℓ+ℓ′\ell + \ell' +∞+\infty −∞-\infty +∞+\infty −∞-\infty ?

Limite d’un produit

Limite d’un produit
Si la limite de f(x)f(x) quand xx tend vers aa est... ℓ\ell ℓ>0\ell > 0 ℓ>0\ell > 0 ℓ<0\ell < 0 ℓ<0\ell < 0 +∞+\infty +∞+\infty −∞-\infty 00
Et la limite de gg quand xx tend vers aa est... ℓ′\ell' +∞+\infty −∞-\infty +∞+\infty −∞-\infty +∞+\infty −∞-\infty −∞-\infty ±∞\pm \infty
Alors la limite de f×gf \times g quand xx tend vers aa est... ℓ×ℓ′\ell \times \ell' +∞+\infty −∞-\infty −∞-\infty +∞+\infty +∞+\infty −∞-\infty +∞+\infty ?

Limite d’un quotient

Limite d’un quotient
Si la limite de f(x)f(x) quand xx tend vers aa est... ℓ\ell ℓ\ell +∞+\infty +∞+\infty −∞-\infty −∞-\infty ±∞\pm \infty ℓ\ell 00
Et la limite de gg quand xx tend vers aa est... ℓ′≠0\ell' \neq 0 ±∞\pm \infty ℓ′>0\ell' > 0 ℓ′<0\ell' < 0 ℓ′>0\ell' > 0 ℓ′<0\ell' < 0 ±∞\pm \infty 00 00
Alors la limite de fg\frac{f}{g} quand xx tend vers aa est... ℓℓ′\displaystyle{\frac{\ell}{\ell'}} 00 +∞+\infty −∞-\infty −∞-\infty +∞+\infty ? ±∞\pm \infty ?

Limite d’une composée

Si on pose lim⁡x→af(x)=b\lim_{x \rightarrow a} f(x) = b et lim⁡x→bg(x)=c\lim_{x \rightarrow b} g(x) = c. Alors lim⁡x→(g∘f)(x)=c\lim_{x \rightarrow} (g \circ f)(x) = c.

Comparaisons et encadrements

Théorèmes de comparaison

Soient deux fonctions ff et gg.

  • Si lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty et si f≤gf \leq g à partir d’un certain point, alors lim⁡x→+∞g(x)=+∞\lim_{x \rightarrow +\infty} g(x) = +\infty.

  • Si lim⁡x→+∞f(x)=−∞\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = -\infty et si f≥gf \geq g à partir d’un certain point, alors lim⁡x→+∞g(x)=−∞\lim_{x \rightarrow +\infty} g(x) = -\infty.

Théorème des gendarmes

Soient trois fonctions ff, gg et hh. Si on a f≤g≤hf \leq g \leq h à partir d’un certain point, et qu’il existe ℓ\ell tel que lim⁡x→+∞f(x)=ℓ\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \ell et lim⁡x→+∞h(x)=ℓ\lim_{x \rightarrow +\infty} h(x) = \ell, alors lim⁡x→+∞g(x)=ℓ\lim_{x \rightarrow +\infty} g(x) = \ell.

Le dernier théorème est la version fonctions du théorèmes des gendarmes (que l’on a vu lors du cours sur les suites). Ils permettent notamment de démontrer une partie du théorème des croissances comparées.

Croissances comparées

lim⁡x→+∞exxn=+∞\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.