L’ensemble $\mathbb{C}$

Il existe un ensemble de nombres noté $\mathbb{C}$ qui contient l’ensemble $\mathbb{R}$ ainsi qu’un nombre $i\in \mathbb{C}$ vérifiant $i^2=-1$.

Schéma

Il peut être dur de se représenter l’ensemble des nombres complexes, voici un schéma représentant les ensembles de nombres déjà connus :

Comme on peut le voir ici, l’ensemble $\mathbb{C}$ contient l’ensemble $\mathbb{R}$ mais également des nombres qui ne sont pas réels ($i$, $1+i$, etc.).

Forme algébrique

Tout nombre complexe $z$ peut s’écrire $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont deux réels. Cette écriture est appelée forme algébrique de $z$. On dit que :

• $x$ est la partie réelle de $z$ (notée $\mathrm{Re}(z)$).

• $y$ est la partie imaginaire de $z$ (notée $\mathrm{Im}(z)$).

Le nombre $z$ est dit réel si $y=0$ et il est dit imaginaire pur si $x=0$.

Lien entre égalité et parties réelle et imaginaire

Deux nombres complexes $z$ et $z^{\prime }$ sont égaux si et seulement si $\mathrm{Re}(z)=\mathrm{Re}(z^{\prime })$ et $\mathrm{Im}(z)=\mathrm{Im}(z^{\prime })$.

Attention !

Il n’y pas de relation d’ordre dans l’ensemble $\mathbb{C}$. On ne pourra donc pas avoir de relation du type $z\le z^{\prime }$.

Définition

Tout nombre complexe $z=x+iy$ admet un nombre complexe conjugué noté $\bar{z}$. Ce conjugué est le nombre complexe $\bar{z}=x-iy$.

Relations

Soient $z$ et $z^{\prime }$ deux nombres complexes.

• $\overline{z+z^{\prime }}=\bar{z}+\overline{z^{\prime }}$

• $\overline{\left(\frac{z}{z^{\prime }}\right)}=\frac{\bar{z}}{\overline{z^{\prime }}}$ où $z^{\prime }\ne 0$

• $\overline{z^n}=(\bar{z}{)}^n$ où $n\in \mathbb{N}$

• $\overline{z\times z^{\prime }}=\bar{z}\times \overline{z^{\prime }}$

Propriétés

Soit $z$ un nombre complexe.

• $\overline{\stackrel{ˉ}{z}}=z$

• $z+\bar{z}=2\mathrm{Re}(z)$

• $z-\bar{z}=2i\mathrm{Im}(z)$

• $z$ est un réel si et seulement si $z=\bar{z}$

• $z$ est un imaginaire pur si et seulement si $z=-\bar{z}$

Définition

On appelle module d’un nombre complexe $z=x+iy$ (noté $|z|$) le réel $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$.

Formules

Soient $z$ et $z^{\prime }$ deux nombres complexes.

• $|z|\ge 0$

• $|z|=0⟺z=0$

• $|\alpha z|=\sqrt{{\alpha }^2}|z|$ pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$ (en particulier, $|-z|=|z|$)

• $z\bar{z}=|z{|}^2$

• $|z|=|\bar{z}|$

• $|z{z}^{\prime }|=|z|\times |z^{\prime }|$

• $\left|\frac{z}{z^{\prime }}\right|=\frac{|z|}{|z^{\prime }|}$ où $z^{\prime }\ne 0$

• $|z^n|=|z{|}^n$ où $n\in \mathbb{N}$

Retrouver les formules

Ces propriétés peuvent sembler compliquées mais heureusement il est possible de les retrouver par le calcul. Par exemple, pour la quatrième propriété, en posant $z=x+iy$ (et donc $\bar{z}=x-iy$) :

$z\bar{z}=(x+iy)(x-iy)=x^2-ixy+ixy+y^2=x^2+y^2={\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)}^2=|z{|}^2$.

Définition

Soit $n$ un entier. On dit que $P$ est un polynôme de degré $n$ si $P$ est une expression formelle de la forme : $P(z)=a_0+a_{1}z+a_2{z}^2+\cdots +a_n{z}^n$.

Il peut être intéressant pour vous de faire le lien avec les fonctions polynômiales du second degré vues en Première.

Racine d’un polynôme

On dit qu’un nombre complexe $a$ est une racine d’un polynôme $P$ si on a $P(a)=0$.

Formule du binôme de Newton

Soient $a$ et $b$ deux nombres complexes. Alors pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{n})a^k{b}^{n-k}$$

Formule du binôme de Newton

Nous allons prouver cette propriété en utilisant le dénombrement, mais il est tout à fait possible de le faire par récurrence (c’est d’ailleurs un très bon exercice !)

Ainsi, on a $(a+b{)}^n=\underset{n\text{ fois}}{\underbrace{(a+b)\times (a+b)\times \cdots \times (a+b)}}$.

En développant cette expression on peut obtenir une somme de termes de la forme $a^k{b}^j$ où :

• $k$ représente le nombre de fois où l’on a choisi $a$ en développant.

• $j$ représente le nombre de fois où l’on a choisi $b$ en développant.

Ainsi, forcément, $i=n-k$ (car si on ne choisit pas $a$, alors on choisit $b$ ; choisir $k$ fois $a$ revient donc à choisir $n-k$ fois $b$).

De plus, il y a $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ manières de choisir $k$ fois $a$ parmi les $n$ expressions $(a+b)$, alors l’expression $a^k{b}^{n-k}$ apparaît $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ lors du développement. Notre somme de termes devient donc : $$(a+b{)}^n=\underset{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)\text{ termes}}{\underbrace{(a^0{b}^{n-0}+\cdots +a^0{b}^{n-0})}}+\cdots +\underset{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\text{ termes}}{\underbrace{(a^k{b}^{n-k}+\cdots +a^k{b}^{n-k})}}+\cdots +\underset{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n}\right)\text{ termes}}{\underbrace{(a^n{b}^{n-n}+\cdots +a^n{b}^{n-n})}}$$ C’est ce qu’il fallait démontrer.

Si $n=2$, on retrouve $(a+b{)}^2=(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{2})a^2{b}^0+(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2})a^1{b}^1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2})a^0{b}^2=a^2+2ab+b^2$.

Théorème fondamental de l’algèbre

Tout polynôme non-nul de degré $n$ admet au plus $n$ racines complexes.

Résolution d’une équation du second degré

On considère l’équation $(E):a{z}^2+bz+c=0$ (où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels et $a\ne 0$). On pose $\Delta =b^2-4ac$, et alors les solutions de $(E)$ dépendent du signe de $\Delta$ :

• Si $\Delta >0$, $(E)$ admet deux solutions réelles $z_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$ et $z_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$.

• Si $\Delta =0$, $(E)$ admet une solution réelle $z_0=\frac{-b}{2a}$.

• Si $\Delta <0$, $(E)$ admet deux solutions complexes conjuguées $z_1=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta }}{2a}$ et $z_2=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta }}{2a}=\overline{z_1}$.

Exemple

On souhaite résoudre l’équation $-2z^2+4z=10$ dans $\mathbb{C}$.

1ère étape : On fait apparaître une équation du second degré : $-2z^2+4z-10=0$.

2ème étape : On calcule le discriminant : $\Delta =b^2-4ac=16-80=-64$.

3ème étape : On transforme le discriminant négatif : $\Delta =64i^2=(8i{)}^2$.

4ème étape : On trouve les solutions :

$z_1=\frac{-b-\sqrt{-\Delta }i}{2a}=\frac{-4-8i}{2\times -2}=1+2i$ et $z_2=\frac{-b+\sqrt{-\Delta }i}{2a}=\frac{-4+8i}{2\times -2}=1-2i=\overline{z_1}$

Relation avec les racines d’un polynôme

Résoudre une équation du type $a{z}^2+bz+c=0$ (où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels et $a\ne 0$) revient à chercher les racines complexes du polynôme $P$ défini pour tout $z\in \mathbb{C}$ par $P(z)=a{z}^2+bz+c$.

Factorisation par une racine

Soit $P$ un polynôme de degré $n$ et soit $a$ une racine de ce polynôme. Alors il existe un polynôme $Q$ de degré $n-1$ tel que pour tout $z\in \mathbb{C}$, $P(z)=(z-a)Q(z)$.

Exemple

Factorisons le polynôme $P$ défini pour tout $z\in \mathbb{C}$ par $P(z)=z^3-z^2+z-1$.

On remarque déjà que $P(1)=1-1+1-1=0$. Donc $1$ est racine de $P$, il existe donc un polynôme $Q$ de degré $2$ tel que pour tout $z\in \mathbb{C}$, $P(z)=(z-1)Q(z)$.

Essayons maintenant de déterminer $Q$. Posons $Q(z)=a{z}^2+bz+c$ et déterminons les coefficients $a$, $b$ et $c$.

Pour tout $z\in \mathbb{C}$, $P(z)=(z-1)Q(z)=(z-1)(a{z}^2+bz+c)=a{z}^3+b{z}^2+cz-a{z}^2-bz-c=a{z}^3+(b-a)z^2+(c-b)z-c$.

Il suffit maintenant d’identifier les coefficients (dans la première expression de $P$) : $$\{\begin{array}{l}a=1\\ b-a=-1\\ c-b=1\\ -c=-1\end{array}$$ En résolvant le système d’équations : $$\{\begin{array}{l}a=1\\ b=0\\ c=1\end{array}$$ Finalement, on a pour tout $z\in \mathbb{C}$, $Q(z)=z^2+1$, donc $P(z)=(z-1)(z^2+1)$.

Pour terminer la factorisation, il faut également factoriser $Q$. Pour cela on calcule son discriminant qui est donc $\Delta =-4$ : on a deux racines complexes conjuguées qui sont $z_1=-i$ et $z_2=i$.

Finalement, comme $Q$ est de degré $2$ (et qu’on a trouvé deux racines), la factorisation est terminée : on a pour tout $z\in \mathbb{C}$, $Q(z)=(z-i)(z+i)$ donc $P(z)=(z-1)(z-i)(z+i)$.

Forme trigonométrique

Pour obtenir la forme trigonométrique d’un nombre complexe $z=x+iy$, il faut tout d’abord obtenir son module. La forme trigonométrique de $z$ est ensuite donnée par : $z=|z|(\cos (\theta )+i\sin (\theta ))$.

Avec $\theta$ l’argument de $z$ (noté $\arg (z)$) qui doit vérifier :

• $\cos (\theta )=\frac{x}{|z|}$

• $\sin (\theta )=\frac{y}{|z|}$

Forme exponentielle / Formule d’Euler

Soit $z$ un nombre complexe écrit sous forme trigonométrique $z=|z|(\cos (\theta )+i\sin (\theta ))$. Alors $z=|z|e^{i\theta }$.

Exemple

On veut passer le nombre complexe $z=1+i$ sous forme exponentielle.

1ère étape : On calcule le module : $|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$.

2ème étape : On factorise par le module : $z=\sqrt{2}\times (\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})$.

3ème étape : On calcule l’argument : $\cos (\theta )=\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin (\theta )=\frac{\sqrt{2}}{2}$. On a donc $\theta =\frac{\pi }{4}$ (car $\cos (\frac{\pi }{4})=\sin (\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$).

4ème étape : On passe à la forme exponentielle : $z=\sqrt{2}{e}^{i\frac{\pi }{4}}$.

Formules de Première

Il est possible de retrouver les formules trigonométriques vues en Première à l’aide des nombres de complexes. La démonstration suivante n’est pas à apprendre mais peut être utile pour retrouver ces formules.

On a $e^{i\times (a+b)}=e^{i\times a}\times e^{i\times b}$.

En passant à la forme trigonométrique, cela donne : $\cos (a+b)+i\sin (a+b)=(\cos (a)+i\sin (a))\times (\cos (b)+i\sin (b))$.

Puis en développant : $\cos (a+b)+i\sin (a+b)=\cos (a)\cos (b)+i\cos (a)\sin (b)+i\cos (b)\sin (a)-\sin (a)\sin (b)$.

Il reste à travailler un petit peu l’expression : $\cos (a+b)+i\sin (a+b)=\cos (a)\cos (b)-\sin (a)\sin (b)+i(\cos (a)\sin (b)+\cos (b)\sin (a))$.

Or deux nombres complexes sont égaux si et seulement si la partie réelle et la partie imaginaire de ces deux nombres sont égales, cela donne : $$\{\begin{array}{l}\cos (a+b)=\cos (a)\cos (b)-\sin (a)\sin (b)\\ \sin (a+b)=\cos (a)\sin (b)+\cos (b)\sin (a)\end{array}$$ Les formules vues en Première ont donc bien été retrouvées.

Propriétés

Soit $z$ un nombre complexe.

• $z$ est un réel si et seulement si $\arg (z)=k\times \pi$ où $k\in \mathbb{Z}$

• $z$ est un imaginaire pur si et seulement si $\arg (z)=k\times \frac{\pi }{2}$ où $k\in \mathbb{Z}$

Formules

Soient $z$ et $z^{\prime }$ deux nombres complexes.

• $\arg (\bar{z})=-\arg (z)\mathrm{mod}2\pi$

• $\arg (-z)=-\arg (z)+\pi \mathrm{mod}2\pi$

• $\arg (z\times z^{\prime })=\arg (z)+\arg (z^{\prime })\mathrm{mod}2\pi$

• $\arg \left(\frac{1}{z}\right)=-\arg (z)\mathrm{mod}2\pi$

• $\arg \left(\frac{z}{z^{\prime }}\right)=\arg (z)-\arg (z^{\prime })\mathrm{mod}2\pi$

• $\arg (z^n)=n\times \arg (z)\mathrm{mod}2\pi$ pour tout $n\in \mathbb{N}$

Le $\mathrm{mod}2\pi$ signifie simplement que l’on se place modulo $2\pi$. Dans cette configuration, on a $-\pi =\pi \mathrm{mod}2\pi$, mais aussi $-\frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{2}\mathrm{mod}2\pi$, ou encore $\pi =3\pi \mathrm{mod}2\pi$.

Affixe d’un point

Un nombre complexe $z=x+iy$ peut être représenté dans le plan par un point $M$ de coordonnées $(x;y)$. $z$ est alors appelé affixe du point $M$ (et réciproquement le point $M$ est l’image de $z$).

Un nombre complexe $z^{\prime }=|z^{\prime }|e^{\theta }$ peut être représenté dans le plan par un point $M^{\prime }$ situé sur le cercle d’origine $O$ et de rayon $|z^{\prime }|$. Le point $M^{\prime }$ est alors situé à l’angle de $\theta$ radians sur ce cercle. Le module est donc une distance et l’argument est un angle.

Exemple

On souhaite représenter le point $M$ d’affixe $z=1+i$ dans le plan. On a les coordonnées de $M$ qui sont $x=1$ et $y=1$ :

Exemple

On souhaite représenter le point $M^{\prime }$ d’affixe $z^{\prime }=\sqrt{2}{e}^{i\frac{\pi }{4}}$ dans le plan. On a le module de $z^{\prime }$ : $|z^{\prime }|=\sqrt{2}$, et un argument de $z^{\prime }$ : $\theta =\frac{\pi }{4}$. On va donc tracer le cercle de centre $O$ et de rayon $\sqrt{2}$ ainsi qu’un segment passant par $O$ et intersectant le cercle en faisant un angle de $\frac{\pi }{4}$ radians avec l’axe des abscisses. Leur intersection sera le point $M^{\prime }$ :

On voit à l’aide de ces deux représentations que $z=z^{\prime }$ (où $z$ est le nombre complexe de l’exemple précédent), comme cela a été démontré dans l’exemple de la première partie.

Affixe d’un vecteur

Soient $A$ et $B$ deux points d’affixes respectives $z_A$ et $z_B$. Alors on associe au vecteur $\overrightarrow{AB}$ son affixe qui est le complexe $z_B-z_A$.

Lien avec l’affixe d’un point

En fait, pour faire le lien avec la partie précédente, l’affixe d’un point $A$ est tout simplement l’affixe du vecteur $\overrightarrow{OA}$.

Propriétés

Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ des points d’affixes respectives $z_A$, $z_B$, $z_C$ et $z_D$.

• La longueur $AB$ est : le module du complexe $z_B-z_A$ (i.e. $|z_B-z_A|$). Il s’agit également de la norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$.

• Le milieu du segment $[AB]$ est : le point $M$ d’affixe $z_M=\frac{z_A+z_B}{2}$.

• L’angle $(\overrightarrow{i};\overrightarrow{AB})$ est : l’argument du complexe $z_B-z_A$ (i.e. $\arg (z_B-z_A)$, modulo $2\pi$).

• L’angle $(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD})$ est : l’argument du complexe $\left(\frac{z_C-z_D}{z_B-z_A}\right)$ (i.e. $\arg \left(\frac{z_C-z_D}{z_B-z_A}\right)$, modulo $2\pi$).

L’ensemble $\mathbb{U}$

On note par $\mathbb{U}$ l’ensemble des nombres complexes de module $1$.

Stabilité de $\mathbb{U}$

Soient $z$, $z^{\prime }\in \mathbb{U}$. Alors $z\times z^{\prime }\in \mathbb{U}$ et $\frac{1}{z}\in \mathbb{U}$.

Racines $n$-ièmes de l’unité

Soit $z$ un nombre complexe. On dit que $z$ est une racine $n$-ième de l’unité si $z^n=1$.

De plus, en notant par ${\mathbb{U}}_n$ l’ensemble des racines $n$-ièmes de l’unité, on a ${\mathbb{U}}_n=\left\{e^{\frac{2i\pi \times 0}{n}},e^{\frac{2i\pi \times 1}{n}},e^{\frac{2i\pi \times 2}{n}},\dots ,e^{\frac{2i\pi \times (n-1)}{n}}\right\}$.

Racines $n$-ièmes de l’unité

Soit $z\in {\mathbb{U}}_n$. On a $z^n=1$, donc $|z^n|=|z{|}^n=1$. Ainsi, on a $|z|=1$. En écrivant $z$ sous forme exponentielle, il existe $\theta \in [0;2\pi [$ tel que $z=e^{i\theta }$.

Ainsi, $z^n=1⟺e^{in\theta }=1=e^{i0}$. Or, deux nombres complexes sont égaux si et seulement s’ils ont le même module et le même argument. On doit donc avoir $k\in \mathbb{Z}$ tel que $n\theta =0+2k\pi$ i.e. $\theta =\frac{2k\pi }{n}$.

Et comme par le théorème fondamental de l’algèbre, l’équation $z^n-1=0$ admet au plus $n$ solutions, on a donc trouvé toutes les solutions.

L’ensemble ${\mathbb{U}}_n$ décrit exactement le polynôme régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle trigonométrique ayant pour sommet $1$.

Par exemple, ${\mathbb{U}}_3$ est l’ensemble des sommets du triangle équilatéral inscrit dans le cercle trigonométrique (dont un sommet est $1$).